《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

答案： 1个; 2; 整式方程

2. 一元二次方程的一般表达式：ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)。
练习：当a≠1时，方程(a - 1)x² + 3x + 1 = 0是一元二次方程。
考点一 方程的解
概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
考点二 解一元二次方程的方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法。
类型一：直接开方法
①4x² - 9 = 0；
解：$$x₁=\frac{3}{2},x₂=-\frac{3}{2}$$
②(5a - 1)² = 4(a - 3)².
解：$$a₁=-\frac{5}{3},a₁=1$$
类型二：因式分解法
①x² - 2x - 3 = 0；
解：x₁=3,x₂=-1
②2t² - 7t - 4 = 0.
解：$$x₁=-\frac{1}{2},x₂=-4$$
类型三：配方法
①x² - 4x + 2 = 0；
解：$$x₁=2+\sqrt{2}, x₂=2-\sqrt{2}$$
②2x² - x - 1 = 0.
解：$$x₁=-\frac{1}{2},x₂=1$$
类型四：公式法
条件：Δ=b² - 4ac≥0.
公式：$$x₁,₂=\frac{-b±\sqrt{Δ}}{2a}$.$
①x² - 2x - 1 = 0；
解：$$x₁=1+\sqrt{2} x₂=1-\sqrt{2}$$
②x² - 3x + 5 = 0.
解：Δ＜0
考点三 根的判别式定理及其逆定理
对于一元二次方程ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)：
①当Δ≥0⇔方程有实数根；当Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根，两根分别为$$x₁=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a},x₂=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}$；$当Δ=0⇔方程有两个相等的实数根，两根为$$x₁=x₂=-\frac{b}{2a}$.$
②当Δ＜0⇔方程无实数根.
练习：已知关于x的一元二次方程x² - m = 2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m ＞ -1.

答案： ax² + bx + c = 0(a ≠ 0); ≠1; 相等; $x₁=\frac{3}{2},x₂=-\frac{3}{2}$; $a₁=-\frac{5}{3},a₁=1$; x₁=3,x₂=-1; $x₁=-\frac{1}{2},x₂=-4$; $x₁=2+\sqrt{2}, x₂=2-\sqrt{2}$; $x₁=-\frac{1}{2},x₂=1$; Δ=b² - 4ac≥0; $x₁,₂=\frac{-b±\sqrt{Δ}}{2a}$; $x₁=1+\sqrt{2} x₂=1-\sqrt{2}$; Δ＜0; Δ≥0; Δ＞0; $x₁=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a},x₂=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}$; Δ=0; $x₁=x₂=-\frac{b}{2a}$; Δ＜0; m ＞ -1

例1 不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1)2x² + 3x - 4 = 0；(2)16y² + 9 = 24y；(3)5(x² + 1) - 7x = 0.

答案：
(1)对于方程$2x² + 3x - 4 = 0$，$a=2$，$b=3$，$c=-4$，$\Delta = b² - 4ac = 3² - 4×2×(-4) = 9 + 32 = 41$，$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。
(2)方程$16y² + 9 = 24y$化为一般式$16y² - 24y + 9 = 0$，$a=16$，$b=-24$，$c=9$，$\Delta = (-24)² - 4×16×9 = 576 - 576 = 0$，$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根。
(3)方程$5(x² + 1) - 7x = 0$化为一般式$5x² - 7x + 5 = 0$，$a=5$，$b=-7$，$c=5$，$\Delta = (-7)² - 4×5×5 = 49 - 100 = -51$，$\Delta＜0$，方程没有实数根。