《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图所示是试验阶段某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数图象,其中线段AB,BC表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.

答案： 1. 设$AB$的解析式为$y = k_1x + b$，
把$B(2, 14)$，$A(0, 10)$代入得：
$\begin{cases}b = 10,\\2k_1 + b = 14.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1 = 2,\\b = 10.\end{cases}$
$\therefore AB$段函数解析式为$y = 2x + 10(0\leq x\leq2)$。
因为$BC$段温度不变，
$\therefore y = 14(2\lt x\leq5)$。
设双曲线$CD$的函数解析式为$y=\frac{k_2}{x}$，
把$C(10, 14)$代入$y = \frac{k_2}{x}$得：
$14=\frac{k_2}{10}$，
解得$k_2 = 140$。
$\therefore$双曲线$CD$的函数解析式为$y=\frac{140}{x}(x\geq10)$。
2. 当$y = 10$时，代入$y=\frac{140}{x}$，
得$10=\frac{140}{x}$，
解得$x = 14$。
恒温系统开启和关闭一共$14h$。
3. 当$x = 24$时，$y=\frac{140}{24}=\frac{35}{6}\approx5.83$，
所以，当时间$x = 24$时，大棚温度为$\frac{35}{6}℃$（或约$5.83℃$ ）。

(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤24)的函数关系式;
(2)求恒温系统设定的恒定温度;
(3)若大棚内的温度低于10℃时,蔬菜会受到伤害,问这天内恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜免于受到伤害?
(4)大棚内温度不低于15℃的时间是$ \frac{65}{6} $小时.
解:(1)$ y=\begin{cases} 2x + 10,(0\leq x\leq 5) \\ 20,(5\leq x\leq 10) \\ \frac{200}{x},(10\leq x\leq 24) \end{cases} $
(2)20℃
(3)当$ y=10 $时,$ x=20(10\leq x\leq 24) $
∴最多10h.
(4)当$ y=15 $时,$ x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=\frac{40}{3} $
∴$ \frac{40}{3}-\frac{5}{2}=\frac{65}{6}(h) $

答案： $ \frac{65}{6} $; 解:
(1)$ y=\begin{cases} 2x + 10,(0\leq x\leq 5) \\ 20,(5\leq x\leq 10) \\ \frac{200}{x},(10\leq x\leq 24) \end{cases} $
(2)20℃
(3)当$ y=10 $时,$ x=20(10\leq x\leq 24) $
∴最多10h.
(4)当$ y=15 $时,$ x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=\frac{40}{3} $
∴$ \frac{40}{3}-\frac{5}{2}=\frac{65}{6}(h) $

双曲线$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$中，根据$k$的几何意义求图形面积，常用图形如下：

$S_{阴影} = $|k|
$S_{阴影} = $$\frac{1}{2}|k|$
$S_{阴影} = $|k|

答案： |k|; $\frac{1}{2}|k|$; |k|

如图，一次函数$y = ax + b$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D。已知$OA = \sqrt{5}$，A点到y轴、x轴的距离之比为2:1，点B的坐标为$(\frac{1}{2}, m)$。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求$\triangle AOB$的面积。

解：(1)$y = \frac{-2}{x}$ $y = -2x - 3$ (2)$S_{\triangle AOB} = \frac{15}{4}$

答案： 解：
(1)$y = \frac{-2}{x}$ $y = -2x - 3$
(2)$S_{\triangle AOB} = \frac{15}{4}$

如图，已知A(1,2)，B(4,b)两点在同一反比例函数的图象上，求$S_{\triangle AOB}$。

解：$S_{\triangle AOB} = 3\frac{3}{4}$

答案： 解：$S_{\triangle AOB} = 3\frac{3}{4}$