《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 把抛物线$y=-2x^2$向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到抛物线的解析式是$y=-2(x - 3)^2 + 2$.

答案： $y=-2(x - 3)^2 + 2$

2. 把$y=2x^2 - 1$的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线的解析式是$y=2(x - 1)^2 - 3$.

答案： $y=2(x - 1)^2 - 3$

3. 抛物线$y=6x^2 + 3$与$y=6(x - 1)^2 + 10$开口方向,形状相同,但顶点坐标不同.

答案： 开口方向,形状; 顶点坐标

4. 已知抛物线$y=-3(x + 4)^2 + 1$,当$x=$-4时,$y$有最大值,是1.

答案： -4; 大; 1

5. 把抛物线$y=-(x + 4)^2 + 2$先向左平移5个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线的解析式变为$y=-(x + 9)^2 - 2$.

答案： $y=-(x + 9)^2 - 2$

6. 已知点$A(1,y_1)$,$B(-\sqrt{2},y_2)$,$C(-2,y_3)$在函数$y=a(x + 1)^2 + k$($a ＞ 0$)的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$.

答案： $y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$

已知一元二次方程$x^2 - 4x - 5 = 0$的两个实数根为$x_1,x_2$,且$x_1 ＜ x_2$.如图,已知$x_1$,$x_2$分别是抛物线$y=-x^2 + bx + c$与$x$轴的两个交点$A,B$的横坐标.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)设(1)中的抛物线与$y$轴的交点为$C$,抛物线的顶点为$D$,请直接写出点$C,D$的坐标并求出四边形$ABDC$的面积.
(3)是否存在直线$y=kx$($k ＞ 0$)与线段$BD$相交且把四边形$ABDC$的面积分为相等的两部分? 若存在,求出$k$的值;若不存在,请说明理由.
[注:抛物线$y=ax^2 + bx + c$($a \neq 0$)的顶点坐标为$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac - b^2}{4a}\right)$.]
解:(1)由方程$x^2 - 4x - 5 = 0$得方程的两根$x_1=-1$,$x_2=5$.
所以$A、B$的坐标分别为$A(-1,0)$、$B(5,0)$.
把$A(-1,0)$、$B(5,0)$代入$y=-x^2 + bx + c$
得$\begin{cases}0=-1 - b + c \\ 0=-25 + 5b + c\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=4 \\ c=5\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-x^2 + 4x + 5$.
(2)$C(0,5)$、$D(2,9)$.
如图所示,过$D$作$DE \perp x$轴于点$E$,则
$S_{四边形ACDB}=S_{\triangle AOC} + S_{梯形OCDE} + S_{\triangle EDB}$
$=\dfrac{1}{2} × 1 × 5 + \dfrac{(5 + 9) × 2}{2} + \dfrac{1}{2}(5 - 2) × 9$
$=\dfrac{5}{2} + 14 + \dfrac{27}{2}$
$=16 + 14$
$=30$.

(3)存在满足条件的直线.
设过$B、D$两点的直线解析式为$y=k_1x + d$,
把$B(5,0)$、$D(2,9)$代入$y=k_1x + d$
得$\begin{cases}0=5k_1 + d \\ 9=2k_1 + d\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-3 \\ d=15\end{cases}$
∴直线$BD$的解析式为$y=-3x + 15$.
设$y=kx$与$y=-3x + 15$的交点为$F(m,n)$,作直线$OF$,
则$S_{\triangle OBF}=\dfrac{1}{2}S_{四边形ABDC}$,即$\dfrac{1}{2}OB \cdot n=15$,
∴$\dfrac{1}{2} × 5n=15$,
∴$n=6$.
又∵点$F(m,6)$在$y=-3x + 15$上,
∴$6=-3m + 15$.
∴$m=3$.
∴点$F(3,6)$.
把点$F(3,6)$代入$y=kx$,
得$6=3k$,即$k=2$.

答案：
解:
(1)由方程$x^2 - 4x - 5 = 0$得方程的两根$x_1=-1$,$x_2=5$.
所以$A、B$的坐标分别为$A(-1,0)$、$B(5,0)$.
把$A(-1,0)$、$B(5,0)$代入$y=-x^2 + bx + c$
得$\begin{cases}0=-1 - b + c \\ 0=-25 + 5b + c\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=4 \\ c=5\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-x^2 + 4x + 5$.
(2)$C(0,5)$、$D(2,9)$.
如图所示,过$D$作$DE \perp x$轴于点$E$,则
$S_{四边形ACDB}=S_{\triangle AOC} + S_{梯形OCDE} + S_{\triangle EDB}$
$=\dfrac{1}{2} × 1 × 5 + \dfrac{(5 + 9) × 2}{2} + \dfrac{1}{2}(5 - 2) × 9$
$=\dfrac{5}{2} + 14 + \dfrac{27}{2}$
$=16 + 14$
$=30$.

(3)存在满足条件的直线.
设过$B、D$两点的直线解析式为$y=k_1x + d$,
把$B(5,0)$、$D(2,9)$代入$y=k_1x + d$
得$\begin{cases}0=5k_1 + d \\ 9=2k_1 + d\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-3 \\ d=15\end{cases}$
∴直线$BD$的解析式为$y=-3x + 15$.
设$y=kx$与$y=-3x + 15$的交点为$F(m,n)$,作直线$OF$,
则$S_{\triangle OBF}=\dfrac{1}{2}S_{四边形ABDC}$,即$\dfrac{1}{2}OB \cdot n=15$,
∴$\dfrac{1}{2} × 5n=15$,
∴$n=6$.
又
∵点$F(m,6)$在$y=-3x + 15$上,
∴$6=-3m + 15$.
∴$m=3$.
∴点$F(3,6)$.
把点$F(3,6)$代入$y=kx$,
得$6=3k$,即$k=2$.