《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例5 如图,E是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,P是CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R.求PQ+PR的值.

解:PQ+PR=2

答案： 解:PQ+PR=2

1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（B）

A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线平分一组对角

答案： B

2. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（C）

A.45°
B.55°
C.60°
D.75°

答案： C

3. 如图,已知正方形ABCD的对角线AC=$\sqrt{2}$,则正方形ABCD的周长是4.

答案： 4

4. 如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是22.5°.

答案： 22.5°

5. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的对角线交点是原点O,两组对边分别与x轴、y轴平行.若正方形的对角线长为2$\sqrt{2}$,求正方形各顶点的坐标.
解:D(-1,1)
A(-1,-1)
B(1,-1)
C(1,1)

答案： 解:D(-1,1)
A(-1,-1)
B(1,-1)
C(1,1)

6. 如图,已知四边形ABCD是正方形,△CBE是等边三角形,求∠AEB的度数.

解:∵四边形ABCD是正方形,
△CBE是等边三角形,
∴∠ABC=90°,∠EBC=60°,
AB=BC=BE,
∴∠ABE=30°,
∴∠AEB=$\frac{1}{2}$(180°-30°)=75°.

答案： 解:
∵四边形ABCD是正方形,
△CBE是等边三角形,
∴∠ABC=90°,∠EBC=60°,
AB=BC=BE,
∴∠ABE=30°,
∴∠AEB=$\frac{1}{2}$(180°-30°)=75°.

7. 如图,在正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于点G,DG交OA于点F.求证:OE=OF.

解:△DAF≌△ABE
△DOF≌△AOE

答案： 解:△DAF≌△ABE
△DOF≌△AOE

8. 如图,正方形AEFG的顶点E,G在正方形ABCD的边AB,AD上,连接BF,DF.
(1)求证:BF=DF；
(2)连接CF,求$\frac{BE}{CF}$的值.

解:(1)证△BEF≌△DGF
(2)BE:CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 解:
(1)证△BEF≌△DGF
(2)BE:CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

如图所示是由5个全等的小正方形组成的十字形的十二边形纸片.如何用几条直线切痕,把这个十字形纸片切割成几块,使这几块能重新拼成一个正方形?
(1)你是怎样切割的？在图中画出切痕.
(2)最少需几条切痕？画出这种切法.

答案： 答案略

(1)(2)2条

答案： 2条