《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

二次函数$y=a(x-h)^2+k$图象的顶点坐标是 （h,k）,对称轴是 x=h.当 a＞0时,图象开口向上,此时二次函数有最 小值,当 x＞h时,y随x的增大而增大;当 x＜h时,y随x的增大而减小.当 a＜0时,图象开口向下,此时二次函数有最 大值,当 x＜h时,y随x的增大而增大;当 ＞h时,y随x的增大而减小.

答案： （h,k）; x=h; a＞0; 小; x＞h; x＜h; a＜0; 大; x＜h; ＞h

1.先将这个函数的表达式配方,则有
$y=-2x^2-8x-7$
$=-2( )$x^2+4x$)-7$
$=-2( )$x^2+4x+4$)-7+( )$8$)$
$=-2( )$x+2$)^2+( )$1$).$
由此可知,该二次函数图象的顶点坐标是 (-2,1),对称轴是 x=-2,最值是 1,图象开口向 下.

答案： $x^2+4x$; $x^2+4x+4$; 8; x+2; 1; (-2,1); x=-2; 1; 下

2.如果将这个函数的表达式配方,则有
$y=ax^2+bx+c$
$=a( ) $x^2+\frac{b}{a}x$ $)+ $$c$$=a( ) $x+\frac{b}{2a}$ $)^2+$$\frac{4ac-b^2}{4a}$.

答案： c; $\frac{4ac-b^2}{4a}$

3.将下列二次函数写成顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式,并写出其图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.
(1)$y=\frac{1}{4}x^2-3x+21$;
(2)$y=-3x^2-18x-22$.
解:(1)$y=\frac{1}{4}(x-6)^2+12$
开口向上,顶点坐标(6,12),对称轴x=6
(2)$y=-3(x+3)^2+5$
开口向下,顶点坐标(-3,5)
对称轴x=-3
总结
用配方法将$y=ax^2+bx+c$化成$y=a(x-h)^2+k$的形式,则h=$-\frac{b}{2a}$,k=$\frac{4ac-b^2}{4a}$.此二次函数图象的顶点坐标是($-\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-b^2}{4a}$),对称轴是 $x=-\frac{b}{2a}$.当x=$-\frac{b}{2a}$时,二次函数$y=ax^2+bx+c$有最大(最小)值.当 a＞0时,y有最 小值;当 a＜0时,y有最 大值.

答案： 解:
(1)$y=\frac{1}{4}(x-6)^2+12$
开口向上,顶点坐标(6,12),对称轴x=6
(2)$y=-3(x+3)^2+5$
开口向下,顶点坐标(-3,5)
对称轴x=-3; $-\frac{b}{2a}$; $\frac{4ac-b^2}{4a}$; $-\frac{b}{2a}$; $\frac{4ac-b^2}{4a}$; $x=-\frac{b}{2a}$; $-\frac{b}{2a}$; a＞0; 小; a＜0; 大

例1 用两种方法确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
(1)$y=2x^2+8x+5$;
解:$y=2(x+2)^2-3$
$x=-2$
（-2,-3）

答案： 解:$y=2(x+2)^2-3$
$x=-2$
（-2,-3）