《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 一般地,如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过 同一 点O,且有 OP'=k·OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做 位似多边形,点O叫做 位似中心.实际上, k就是这两个相似多边形的相似比.

答案： 同一 点O; OP'=k·OP(k≠0); 位似多边形; 位似中心; k

2. 位似图形与相似图形的关系： 位似属于相似.

答案： 位似属于相似

3. 位似图形的性质：①位似图形的 对应角相等；②位似图形的对应线段 成比例且 平行或在同一直线上；③位似图形对应点的连线所在的直线 交于一点,称为位似中心；④位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于 相似比,此时的相似比又叫位似比.

答案： 对应角; 成比例; 平行或在同一直线上; 交于一点,称为位似中心; 相似比,此时的相似比又叫位似比

4. 在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0),所对应的图形与原图形位似,位似中心是 原点,它们的相似比为 |k|.

答案： 原点; |k|

指出下列各组图形的位似中心,其位似比是多少?

答:图1:位似中心是A点,位似比为2:5；
图2:位似中心是直线AD与BC的交点,位似比为1:2；
图3:位似中心是直线BE与AD的交点,位似比为1:2；
图4:位似中心是O点,位似比为2:5；
图5:位似中心是对应点连线的交点,位似比为1:2.

答案：
答:图1:位似中心是A点,位似比为2:5；
图2:位似中心是直线AD与BC的交点,位似比为1:2；
图3:位似中心是直线BE与AD的交点,位似比为1:2；
图4:位似中心是O点,位似比为2:5；
图5:位似中心是对应点连线的交点,位似比为1:2.

例1 如图,已知△ABC与△A'B'C'关于点O位似,BO=3,OB'=6.
(1)若AC=5,求A'C'的长；
(2)若△ABC的面积为6,求△A'B'C'的面积.


答:(1)10 (2)24
例2 如图,已知△ABC,以点O为位似中心画一个△DEF,使它与△ABC相似,且相似比为2.

解:如图,△A'B'C'或△A''B''C''为所作.
归纳作位似图形的步骤：
第一步:在原图上找若干个关键点,并在原图外任取一点作为位似中心.

第二步:以位似中心为端点,过各关键点作射线.
第三步:在射线上取关键点的对应点,使之满足放缩比例.
第四步:顺次连接截取点,得到其位似图形.
注意:①位似中心不确定时,作图不唯一；②位似中心确定时,作图也不唯一,还要分对应点在位似中心的同侧或异侧两种情况.
例3 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(6,0),B(3,6),C(-3,3).请以原点O为位似中心画一个四边形,使它与四边形OABC位似,且相似比是2:3.
解:如图,有两种画法.
画法一:将四边形OABC各顶点的坐标都乘$\frac{2}{3},$得O(0,0),A'(4,0),B'(2,4),C'(-2,2)；在平面直角坐标系中描出点A',B',C',用线段顺次连接点O,A',B',C',O,则四边形OA'B'C'就是符合要求的四边形.

画法二:将四边形OABC各顶点的坐标都乘$-\frac{2}{3},$得O(0,0),A''(-4,0),B''(-2,-4),C''(2,-2)；在平面直角坐标系中描出点A'',B'',C'',用线段顺次连接点O,A'',B'',C'',O,则四边形OA''B''C''也是符合要求的四边形.
例4 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为1:3,点A,B,E在x轴上.
(1)若点F的坐标为(4.5,3),请直接写出点C和点A的坐标；
(2)若正方形BEFG的边长为6,求点C的坐标.

答案：

答:
(1)10
(2)24; 解:如图,△A'B'C'或△A''B''C''为所作.
归纳作位似图形的步骤：
第一步:在原图上找若干个关键点,并在原图外任取一点作为位似中心.

第二步:以位似中心为端点,过各关键点作射线.
第三步:在射线上取关键点的对应点,使之满足放缩比例.
第四步:顺次连接截取点,得到其位似图形.
注意:①位似中心不确定时,作图不唯一；②位似中心确定时,作图也不唯一,还要分对应点在位似中心的同侧或异侧两种情况.; 解:如图,有两种画法.
画法一:将四边形OABC各顶点的坐标都乘$\frac{2}{3},$得O(0,0),A'(4,0),B'(2,4),C'(-2,2)；在平面直角坐标系中描出点A',B',C',用线段顺次连接点O,A',B',C',O,则四边形OA'B'C'就是符合要求的四边形.

画法二:将四边形OABC各顶点的坐标都乘$-\frac{2}{3},$得O(0,0),A''(-4,0),B''(-2,-4),C''(2,-2)；在平面直角坐标系中描出点A'',B'',C'',用线段顺次连接点O,A'',B'',C'',O,则四边形OA''B''C''也是符合要求的四边形.