《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 已知反比例函数$y=\frac{a}{x}(a\neq0)$的图象在每一象限内,$y$随$x$的增大而减小,则一次函数$y=-ax+a$的图象不经过三象限.

答案： 三象限

2. 如图,$P(a,b)$,$M(c,d)$是反比例函数$y=\frac{1}{x}$在第一象限内的图象上关于直线$y=x$对称的两点,过$P,M$两点作坐标轴的垂线,垂足分别为$Q,N$.若$\angle MON=30^{\circ}$,则$\frac{b}{a}+\frac{d}{c}=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$.

答案： $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

3. 如图,在$Rt\triangle AOB$中,两直角边$OA$,$OB$分别在$x$轴的负半轴和$y$轴的正半轴上,将$\triangle AOB$绕点$B$按逆时针旋转$90^{\circ}$后得到$\triangle A'O'B$.若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象恰好经过斜边$A'B$的中点$C$,$S_{\triangle ABO}=4$,$\tan\angle BAO=2$,则$k$的值为多少?

解:$k=6$

答案： 解:$k=6$

如图1,一次函数$y=\frac{1}{2}x+1$的图象分别与$x$轴、$y$轴交于点$A,C$,与反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象交于点$P$,已知点$P$的纵坐标为4,$PB\perp x$轴,垂足为$B$.
(1)求$m$的值;
(2)$Q$是函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$图象上点$P$左侧一点,且$\triangle BPQ$的面积为6,求点$Q$的坐标;
(3)如图2,$M$是函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$图象上点$P$右侧的一个动点,过点$M$作$MD\perp$直线$AP$于点$D$,若$\angle PMD=45^{\circ}$,求点$M$的坐标.
解:(1)∵ 点$P$在一次函数$y=\frac{1}{2}x+1$的图象上,∴ 点$P$的坐标为$(6,4)$,∴ $m=24$;
(2)设点$Q$的坐标为$(a,\frac{24}{a})$,∵ $PB\perp x$轴,∴ $S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}×4×(6-a)$,即$\frac{1}{2}×4×(6-a)=6$,
解得:$a=3$,∴ 点$Q$的坐标为$(3,8)$;
(3)如图,过点$D$作$DG\perp BP$,交$BP$的延长线于点$G$,过点$M$作$MH\perp GD$的延长线于点$H$,
设点$D$的坐标为$(n,\frac{1}{2}n+1)$,则$DG=n-6$,$PG=\frac{1}{2}n+1-4=\frac{1}{2}n-3$,
∴ $\triangle PGD\cong\triangle DHM(AAS)$,∴ $HM=DG=n-6$,$DH=PG=\frac{1}{2}n-3$,
∴ $GH=GD+DH=n-6+\frac{1}{2}n-3=\frac{3}{2}n-9$,
∴ 点$M$的坐标为$(\frac{3}{2}n-9+6,\frac{1}{2}n+1-n+6)$,即$(\frac{3}{2}n-3,7-\frac{1}{2}n)$,
由题意得:$(\frac{3}{2}n-3)×(7-\frac{1}{2}n)=24$,
解得:$n_{1}=10$,$n_{2}=6$(舍),∴ 点$M$的坐标为$(12,2)$.

答案： 解:
(1)
∵ 点$P$在一次函数$y=\frac{1}{2}x+1$的图象上,
∴ 点$P$的坐标为$(6,4)$,
∴ $m=24$;
(2)设点$Q$的坐标为$(a,\frac{24}{a})$,
∵ $PB\perp x$轴,
∴ $S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}×4×(6-a)$,即$\frac{1}{2}×4×(6-a)=6$,
解得:$a=3$,
∴ 点$Q$的坐标为$(3,8)$;
(3)如图,过点$D$作$DG\perp BP$,交$BP$的延长线于点$G$,过点$M$作$MH\perp GD$的延长线于点$H$,
设点$D$的坐标为$(n,\frac{1}{2}n+1)$,则$DG=n-6$,$PG=\frac{1}{2}n+1-4=\frac{1}{2}n-3$,
∴ $\triangle PGD\cong\triangle DHM(AAS)$,
∴ $HM=DG=n-6$,$DH=PG=\frac{1}{2}n-3$,
∴ $GH=GD+DH=n-6+\frac{1}{2}n-3=\frac{3}{2}n-9$,
∴ 点$M$的坐标为$(\frac{3}{2}n-9+6,\frac{1}{2}n+1-n+6)$,即$(\frac{3}{2}n-3,7-\frac{1}{2}n)$,
由题意得:$(\frac{3}{2}n-3)×(7-\frac{1}{2}n)=24$,
解得:$n_{1}=10$,$n_{2}=6$(舍),
∴ 点$M$的坐标为$(12,2)$.