《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例1 不解方程,写出下列一元二次方程的两根之和与两根之积.
(1)x²-3x-1=0；
解:x₁+x₂=3 x₁·x₂=-1

答案： 解:x₁+x₂=3 x₁·x₂=-1

(2)2x²-3x-5=0；
解:x₁+x₂=3/2 x₁·x₂=-5/2

答案： 解:x₁+x₂=3/2 x₁·x₂=-5/2

(3)1/3x²-2x=0；
解:x₁+x₂=6 x₁·x₂=0

答案： 解:x₁+x₂=6 x₁·x₂=0

(4)x²-1=0；
解:x₁+x₂=0 x₁·x₂=-1

答案： 解:x₁+x₂=0 x₁·x₂=-1

(5)x²-2x+1=0.
解:x₁+x₂=2 x₁·x₂=-1

答案： 解:x₁+x₂=2 x₁·x₂=-1

(6)x²+7x+6=0；
解:(6)x₁+x₂=b/a=-7,x₁·x₂=c/a=6；

答案： 解:
(6)x₁+x₂=b/a=-7,x₁·x₂=c/a=6；

(7)2x²-3x-2=0.
解:(7)x₁+x₂=b/a=3/2,x₁·x₂=c/a=-1.
想一想:方程x²-2x+3=0有两根之和、两根之积吗？

答案： 解:
(7)x₁+x₂=b/a=3/2,x₁·x₂=c/a=-1.

例2 不解方程,检验下列方程的解是否正确.
(1)x²-2√2x+1=0,x₁=√2+1,x₂=√2-1；
(2)2x²-3x-8=0,x₁=5/2,x₂=-1.
解:(1)是 (2)否

答案： 解:
(1)是
(2)否

例3 已知关于x的方程x²-kx-2=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根；
解:(1)Δ=k²+8＞0

答案： 解:
(1)Δ=k²+8＞0

(2)已知方程的一个根为x=√3+1,求k的值及另一个根.
解:(2)x₂=1-√3,k=2

答案： 解:
(2)x₂=1-√3,k=2

例4 已知x₁,x₂是方程2x²+3x-1=0的两个根,不解方程,求下列代数式的值.
(1)x₁+x₂；
解:原式=-3/2

答案： 解:原式=-3/2

(2)1/x₁+1/x₂；
解:原式=3

答案： 解:原式=3

(3)(x₁-3)(x₂-3)；
解:原式=13

答案： 解:原式=13

(4)(x₁-x₂)²；
解:原式=17/4

答案： 解:原式=17/4

(5)x₁²·x₂+x₁·x₂²；
解:原式=3/4

答案： 解:原式=3/4

(6)x₂/x₁+x₁/x₂.
解:原式=-13/2
反馈用
A组

答案： 解:原式=-13/2

1.已知一元二次方程x²-3x-4=0的两个根x₁,x₂,则x₁+x₂=（ B）

A.4
B.3
C.-4
D.-3

答案： B

2.若x₁,x₂是方程2x²-6x+3=0 的两个根,则1/x₁+1/x₂的值为（ A）

A.2
B.-2
C.1/2
D.9/2

答案： A

3.已知x₁,x₂是方程2x²-7x+4=0的两个根,则x₁+x₂=7/2,x₁·x₂=2,x₁x₂²+x₁²x₂=7.

答案： 7/2; 2; 7

4.若关于x的方程x²+(a²-2)x-3=0的两个根是1和-3,则a=±2.

答案： ±2

5.已知关于x的方程x²-(2m-1)x+m²=0.
(1)当m满足什么条件时,方程有实数根？
(2)当m满足什么条件时,方程的两根互为倒数？
(3)方程的两根能否互为相反数？
解:(1)m≤1/4； (2)m=-1； (3)不能.

答案： 解:
(1)m≤1/4；
(2)m=-1；
(3)不能.