《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例4 已知y与x+1成反比例，且当x=3时y=4.
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)当x=7时，求y的值.
解：$$(1)y=\frac{16}{x+1} (2)2$$

答案： $(1)y=\frac{16}{x+1} (2)2$

变式 已知$y=y_{1}+y_{2}，$$y_{1}$与$x^{2}$成正比例，$y_{2}$与x成反比例，且x=1时，y=3；x=-1时，y=1.求当$x=-\frac{1}{2}$时y的值.
解：$$y=-\frac{3}{2}$$

答案： $y=-\frac{3}{2}$

1.反比例函数$y=\frac{k+5}{x}$中，k的取值范围是k≠-5.

答案： k≠-5

2.已知一个等腰三角形的底y和高x满足反比例函数关系式$y=\frac{24}{x}，$则三角形的面积是12.

答案： 12

3.已知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x之间的函数关系式为$$y=-\frac{3}{x}+2$.$

答案： $y=-\frac{3}{x}+2$

4.下列关系中的y是x的反比例函数吗？如果是，系数k是多少？
$①y=\frac{x}{15}；$$②y=\frac{2}{x-1}；$$③y=-\frac{\sqrt{3}}{x}；$
$④y=\frac{1}{x}-3；$$⑤y=\frac{\sqrt{2}+1}{x}；$$⑥y=\frac{x}{3}+2；$
$⑦y=\frac{-1}{2x}.$
解：(1)不是； (2)不是； (3)是，$k=-\sqrt{3}；$ (4)不是； (5)是，$k=\sqrt{2}+1；$ (6)不是； (7)是，$k=-\frac{1}{2}.$

答案：
(1)不是；
(2)不是；
(3)是，$k=-\sqrt{3}；$
(4)不是；
(5)是，$k=\sqrt{2}+1；$
(6)不是；
(7)是，$k=-\frac{1}{2}.$

5.已知$y=y_{1}-y_{2}，$$y_{1}$与$x^{2}$成正比例，$y_{2}$与x-1成反比例.当x=-1时，y=3；当x=2时，y=-3.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当$x=\sqrt{2}$时，求y的值.
解：$$(1)y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{x-1} (2)y=-4-5\sqrt{2}$$

答案： $(1)y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{x-1} (2)y=-4-5\sqrt{2}$

6.如果y与x成反比例，z与y成正比例，则z与x成反比例.

答案： 反比例

已知变量x，y满足$(x-2y)^{2}=(x+2y)^{2}+10，$那么x，y是否成反比例关系？如果不是，请说明理由；如果是，求出比例系数.
解：∵$(x-2y)^{2}=(x+2y)^{2}+10，$ ∴$x^{2}-4xy+4y^{2}=x^{2}+4xy+4y^{2}+10，$ 整理得出：8xy=-10， ∴$y=-\frac{5}{4x}，$ ∴x,y成反比例关系， 比例系数为：$-\frac{5}{4}.$

答案：
∵$(x-2y)^{2}=(x+2y)^{2}+10，$
∴$x^{2}-4xy+4y^{2}=x^{2}+4xy+4y^{2}+10，$ 整理得出：8xy=-10，
∴$y=-\frac{5}{4x}，$
∴x,y成反比例关系， 比例系数为：$-\frac{5}{4}.$