《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

3.如图所示是二次函数$y=ax^2+5x+4-a^2$的图象,那么a的值是-2.

答案： -2

4.已知y是x的二次函数,且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位,当x=3时,y取得最小值为-2.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若此函数图象上有一点P,使△PAB的面积等于12个平方单位,求点P的坐标.
(1)$y=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$
(2)$P_1(7,6)$ $P_2(-1,6)$

答案：
(1)$y=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$
(2)$P_1(7,6)$ $P_2(-1,6)$

5.开口向上的抛物线$y=a(x+2)(x-8)$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若∠ACB=90°,则a=$\frac{1}{4}$.

答案： $\frac{1}{4}$

6.已知开口向下的抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于A($x_1,0$),B($x_2,0$)两点($x_1＜x_2$),与y轴交于点C(0,5),若$a+b+c=0$且$S_{\triangle ABC}=10$,求抛物线的解析式.
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot y_C$
$=\frac{5}{2}AB=10$
∴AB=4
∵$a+b+c=0$
∴图像过(1,0)
∴点A坐标为(-3,0),点B坐标为(1,0)
设$y=a(x-1)(x+3)$
将(0,5)代入上式$a=-\frac{5}{3}$
$y=-\frac{5}{3}(x-1)(x+3)$
$=-\frac{5}{3}x^2-\frac{10}{3}x+5$

答案： $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot y_C$
$=\frac{5}{2}AB=10$
∴AB=4
∵$a+b+c=0$
∴图像过(1,0)
∴点A坐标为(-3,0),点B坐标为(1,0)
设$y=a(x-1)(x+3)$
将(0,5)代入上式$a=-\frac{5}{3}$
$y=-\frac{5}{3}(x-1)(x+3)$
$=-\frac{5}{3}x^2-\frac{10}{3}x+5$

如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0).若抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+k$与扇形OAB的边界总有两个公共点,求实数k的取值范围.

答案： 答案略

$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x^2+k\\y_{OA}=x\end{cases}$
∴$\frac{1}{2}x^2+k=x$
∴$\frac{1}{2}x^2-x+k=0$
$\Delta=1-2k＞0$
$k＜\frac{1}{2}$
下$y=\frac{1}{2}x^2+k$过B(2,0)
∴$2+k=0$
$k=-2$
∴$-2＜k＜\frac{1}{2}$$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x^2+k\\y_{OA}=x\end{cases}$
∴$\frac{1}{2}x^2+k=x$
∴$\frac{1}{2}x^2-x+k=0$
$\Delta=1-2k＞0$
$k＜\frac{1}{2}$
下$y=\frac{1}{2}x^2+k$过B(2,0)
∴$2+k=0$
$k=-2$
∴$-2＜k＜\frac{1}{2}$

答案： $\begin{cases}y=\frac{1}{2}x^2+k\\y_{OA}=x\end{cases}$
∴$\frac{1}{2}x^2+k=x$
∴$\frac{1}{2}x^2-x+k=0$
$\Delta=1-2k＞0$
$k＜\frac{1}{2}$
下$y=\frac{1}{2}x^2+k$过B(2,0)
∴$2+k=0$
$k=-2$
∴$-2＜k＜\frac{1}{2}$