《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 已知抛物线$y = -3x^2$上两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，且A，B两点均在y轴的右侧，若$y_1 ＜ y_2 ＜ 0$，则$x_1,x_2$的大小关系为 （A）

A.$x_1 ＞ x_2$
B.$x_1 ＜ x_2$
C.$x_1 = x_2$
D.不能确定

答案： A

2. 下列函数中，经过原点，且当$x ＞ 0$时y随x增大而减小的有 （B）
①$y = \frac{1}{x}$；②$y = -2x^2$；③$y = -\frac{1}{3}x^2$；
④$y = 3x$；⑤$y = x^2$；⑥$y = -x$.

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： B

3. 函数$y = \frac{3}{7}x^2$的图象开口向 上，顶点是 (0,0)，对称轴是 y轴. 当$x = $0时，y有最 小值，这个值是 0.

答案： 上; (0,0); y轴; 0; 小; 0

4. 已知函数$y = (n + 1)x^{n^2 + n}$是二次函数，其图象开口向下，则$n = $-2，顶点是 (0,0). 当$x$ ≤0时，y随x的增大而增大；当$x$ ≥0时，y随x的增大而减小.

答案： -2; (0,0); ≤0; ≥0

5. 若点$A(-2,a)$在抛物线$y = -5x^2$上，则点A关于y轴对称点的坐标是 (2,-20).

答案： (2,-20)

6. 如图：①$y = ax^2$；②$y = bx^2$；③$y = cx^2$；④$y = dx^2$. 比较a,b,c,d的大小，用“＞”连接：
$a ＞ b ＞ d ＞ c$.

答案： $a ＞ b ＞ d ＞ c$

7. 如图，直线过点$A(4,0)$和点$B(0,4)$，它与二次函数$y = ax^2$的图象在第一象限内相交于点P. 若$\triangle AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，求此二次函数的表达式.

解：$S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2}OA \cdot y_P = \frac{9}{2}$
$\therefore y_P = \frac{9}{4}$
$\therefore P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$
$\therefore y = \frac{36}{49}x^2$

答案： 解：$S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2}OA \cdot y_P = \frac{9}{2}$
$\therefore y_P = \frac{9}{4}$
$\therefore P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$
$\therefore y = \frac{36}{49}x^2$

视野拓展 如图，直线AB过x轴上一点$A(2,0)$，且与抛物线$y = ax^2$相交于B，C两点，点B的坐标为(1,1).
(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)求$S_{\triangle OBC}$；
(4)若抛物线上有一点D(在第一象限内)，使得$S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COB}$，求点D的坐标.

解：(1)设直线表达式为$y = kx + b$.
∵$A(2,0)$,$B(1,1)$都在$y = kx + b$的图象上，
$\therefore \begin{cases}2k + b = 0 \\ k + b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1 \\ b = 2\end{cases}$，
∴直线AB的表达式为$y = -x + 2$；
设抛物线解析式为$y = ax^2$，
∵点$B(1,1)$在$y = ax^2$的图象上，∴$a = 1$，
∴抛物线的解析式为$y = x^2$；
(2)联立方程组$\begin{cases}y = -x + 2 \\ y = x^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -2 \\ y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1 \\ y = 1\end{cases}$，
∴点C坐标为$(-2,4)$；
(3)$S_{\triangle COB} = S_{\triangle AOC} - S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} × 2 × 4 - \frac{1}{2} × 2 × 1 = 3$；
(4)设点D的坐标为$(m,m^2)(m ＞ 0)$，
∵点$A(2,0)$，∴$OA = 2$，
∵$S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}OA \cdot y_D = \frac{1}{2} × 2m^2 = 3$，
解得$m = \sqrt{3}$或$m = -\sqrt{3}$（舍去），
∴点D的坐标为$(\sqrt{3},3)$

答案： 解：
(1)设直线表达式为$y = kx + b$.
∵$A(2,0)$,$B(1,1)$都在$y = kx + b$的图象上，
$\therefore \begin{cases}2k + b = 0 \\ k + b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1 \\ b = 2\end{cases}$，
∴直线AB的表达式为$y = -x + 2$；
设抛物线解析式为$y = ax^2$，
∵点$B(1,1)$在$y = ax^2$的图象上，
∴$a = 1$，
∴抛物线的解析式为$y = x^2$；
(2)联立方程组$\begin{cases}y = -x + 2 \\ y = x^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -2 \\ y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1 \\ y = 1\end{cases}$，
∴点C坐标为$(-2,4)$；
(3)$S_{\triangle COB} = S_{\triangle AOC} - S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} × 2 × 4 - \frac{1}{2} × 2 × 1 = 3$；
(4)设点D的坐标为$(m,m^2)(m ＞ 0)$，
∵点$A(2,0)$，
∴$OA = 2$，
∵$S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}OA \cdot y_D = \frac{1}{2} × 2m^2 = 3$，
解得$m = \sqrt{3}$或$m = -\sqrt{3}$（舍去），
∴点D的坐标为$(\sqrt{3},3)$