《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

4. 如图,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 上一点,DF⊥AE 于点 F.若 AE=BC,求证:CE=EF.解:∵S_{△ADE}=$\frac{1}{2}$AE·DF=$\frac{1}{2}$AD·DC=$\frac{1}{2}$BC·DC 又∵AE=BC ∴DC=DF ∴$\left\{\begin{array}{l}DC=DF\\ ∠1=∠2\\ ∠DFA=∠B\end{array}\right.$ ∴△DFA≌△ABE(AAS) ∴AC=BE ∴EF=EC

答案：
∵S_{△ADE}=$\frac{1}{2}$AE·DF=$\frac{1}{2}$AD·DC=$\frac{1}{2}$BC·DC 又
∵AE=BC
∴DC=DF
∴$\left\{\begin{array}{l}DC=DF\\ ∠1=∠2\\ ∠DFA=∠B\end{array}\right.$
∴△DFA≌△ABE(AAS)
∴AC=BE
∴EF=EC

5. 如图,折叠矩形纸片 ABCD,先折出折痕 BD,再折叠使点 A 落在对角线 BD 上的点 A'位置上,折痕为 DG.若 AB=2,BC=1,求 AG 的长.解:AG=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

答案： AG=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

6. 如图,在矩形 ABCD 中,两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AB=6,OA=4.求 BD 和 AD 的长.解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AC=2OA=8,OB=$\frac{1}{2}$BD,∠BAD=90°,AB=CD=6,∴BD=AC=8,∴AD=$\sqrt{BD^2-AB^2}$=$\sqrt{8^2-6^2}$=2$\sqrt{7}$,∴AD 的长为 2$\sqrt{7}$,BD 的长为 8.

答案：
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AC=2OA=8,OB=$\frac{1}{2}$BD,∠BAD=90°,AB=CD=6,
∴BD=AC=8,
∴AD=$\sqrt{BD^2-AB^2}$=$\sqrt{8^2-6^2}$=2$\sqrt{7}$,
∴AD 的长为 2$\sqrt{7}$,BD 的长为 8.

7. 如图,在矩形 ABCD 中,AE⊥BD,垂足为 E,∠DAE:∠BAE=1:2,则∠CAE=30°.

答案： 30°

8. 如图,BD,CE 是△ABC 的两条高,M,N 分别是 BC,DE 的中点.求证:MN⊥DE.解:连接 DM,EM,∵M 是 BC 的中点,BD、CE 是△ABC 的两条高,∴EM=$\frac{1}{2}$BC,DM=$\frac{1}{2}$BC,∴EM=DM,∵N 是 DE 的中点,∴MN 垂直平分 DE.

答案： 连接 DM,EM,
∵M 是 BC 的中点,BD、CE 是△ABC 的两条高,
∴EM=$\frac{1}{2}$BC,DM=$\frac{1}{2}$BC,
∴EM=DM,
∵N 是 DE 的中点,
∴MN 垂直平分 DE.

如图,在矩形 ABCD 中,已知 AD=12,AB=5,P 是 AD 上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E,F 分别是垂足.求 PE+PF 的值.解:连接 OP.由矩形 ABCD,AD=12,AB=5.∴AC=BD=2OA=2OB=13.∴OA=OD=6.5.而 S_{矩形}=12×5=60.∴S_{△AOD}=$\frac{1}{4}$×60=15.∴S_{△AOP}+S_{△DOP}=15.即$\frac{1}{2}$×OA×PE+$\frac{1}{2}$×OD×PF=15.∴$\frac{1}{2}$×6.5×(PE+PF)=15.∴PE+PF=$\frac{60}{13}$.

答案： 连接 OP.由矩形 ABCD,AD=12,AB=5.
∴AC=BD=2OA=2OB=13.
∴OA=OD=6.5.而 S_{矩形}=12×5=60.
∴S_{△AOD}=$\frac{1}{4}$×60=15.
∴S_{△AOP}+S_{△DOP}=15.即$\frac{1}{2}$×OA×PE+$\frac{1}{2}$×OD×PF=15.
∴$\frac{1}{2}$×6.5×(PE+PF)=15.
∴PE+PF=$\frac{60}{13}$.