《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,AB=24,AC=25,∠B=90°,则tanA= $\frac{7}{24}$，sinA= $\frac{7}{25}$，cosA= $\frac{24}{25}$.

答案： $\frac{7}{24}$; $\frac{7}{25}$; $\frac{24}{25}$

2. 在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=$\frac{4}{3}$,BC=20,则AC+AB= 40.

答案： 40

3. 如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,tanA=$\frac{1}{2}$,BD=1,则BC= $\sqrt{5}$,AD= 4.

答案： $\sqrt{5}$; 4

4. 如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin∠A,cos∠B和tan∠ACD的值.解:sinA=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{4}{5}$，tan∠ACD=$\frac{4}{3}$

答案： sinA=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{4}{5}$，tan∠ACD=$\frac{4}{3}$

5. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AC⊥AB,AD=CD,cosB=$\frac{5}{13}$,BC=26.求：(1)cos∠DAC的值；(2)线段AD的长.解:(1)cos∠DAC=$\frac{12}{13}$；(2)AD=13

答案：
(1)cos∠DAC=$\frac{12}{13}$；
(2)AD=13

6. 在△ABC中,∠BAC＞90°,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求CD和sinC.如果∠BAC＜90°呢?解:(1)∠BAC＞90°,作出图形如图1,作AD⊥BC,∵Rt△ABD中,AD=4,AB=5,∴BD=$\sqrt{AB²-AD²}$=3,∴CD=BC-BD=10,∴Rt△ACD中,AC=$\sqrt{CD²+AD²}$=2$\sqrt{29}$,∴sinC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2\sqrt{29}}{29}$；(2)∠BAC＜90°,作出图形如图2,作AD⊥BC,∵Rt△ABD中,AD=4,AB=5,∴BD=$\sqrt{AB²-AD²}$=3,∴CD=BC+BD=16,∴Rt△ACD中,AC=$\sqrt{CD²+AD²}$=4$\sqrt{17}$,∴sinC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$

答案：
(1)∠BAC＞90°,作出图形如图1,作AD⊥BC,
∵Rt△ABD中,AD=4,AB=5,
∴BD=$\sqrt{AB²-AD²}$=3,
∴CD=BC-BD=10,
∴Rt△ACD中,AC=$\sqrt{CD²+AD²}$=2$\sqrt{29}$,
∴sinC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2\sqrt{29}}{29}$；
(2)∠BAC＜90°,作出图形如图2,作AD⊥BC,
∵Rt△ABD中,AD=4,AB=5,
∴BD=$\sqrt{AB²-AD²}$=3,
∴CD=BC+BD=16,
∴Rt△ACD中,AC=$\sqrt{CD²+AD²}$=4$\sqrt{17}$,
∴sinC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$

如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A的坐标为(m,0).将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角,得到正方形ODEF,DE与边BC交于点M,且点M与点B,C不重合.(1)请判断线段CD与OM的位置关系；(2)试用含m和α的代数式表示线段CM的长,并求出α的取值范围.解

答:解:(1)连接CD,OM.根据旋转的性质可得,MC=MD,OC=OD,又OM是公共边,∴△COM≌△DOM,∴∠COM=∠DOM,又∵OC=OD,∴CD⊥OM；(2)由(1)知∠COM=∠DOM,∴∠COM=$\frac{90°-\alpha}{2}$,在Rt△COM中,CM=OC·tan∠COM=m·tan$\frac{90°-\alpha}{2}$；因为OD与OM不能重合,且只能在OC右边,故可得α的取值范围是0°＜α＜90°.

答案： 解:
(1)连接CD,OM.根据旋转的性质可得,MC=MD,OC=OD,又OM是公共边,
∴△COM≌△DOM,
∴∠COM=∠DOM,又
∵OC=OD,
∴CD⊥OM；
(2)由
(1)知∠COM=∠DOM,
∴∠COM=$\frac{90°-\alpha}{2}$,在Rt△COM中,CM=OC·tan∠COM=m·tan$\frac{90°-\alpha}{2}$；因为OD与OM不能重合,且只能在OC右边,故可得α的取值范围是0°＜α＜90°.