《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 一般地,二次函数$y=a(x - h)^2 + k$($a \neq 0$)的图象有如下特征：
(1)开口方向：$a ＞ 0$时向上,$a ＜ 0$时向下.
(2)顶点坐标：(h,k).
(3)对称轴：直线$x=h$.
(4)增减性:当$a ＞ 0$时,$x ＞ h$ $x\uparrow y\uparrow$;$x ＜ h$ $x\uparrow y\downarrow$;当$a ＜ 0$时,$x ＞ h$ $x\uparrow y\downarrow$;$x ＜ h$ $x\uparrow y\uparrow$.
(5)最值:当$x=h$时,$y$最大(或$y$最小)=k.

答案： $a ＞ 0$; $a ＜ 0$; (h,k); 直线$x=h$; $x ＞ h$ $x\uparrow y\uparrow$; $x ＜ h$ $x\uparrow y\downarrow$; $x ＞ h$ $x\uparrow y\downarrow$; $x ＜ h$ $x\uparrow y\uparrow$; $x=h$; k

2. 二次函数图象的平移规律:左加右减,上加下减.
注意:习惯上,我们把$y=a(x - h)^2 + k$($a \neq 0$)称为二次函数的顶点式.

答案： 加; 减; 加; 减

填表：

解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
$y=-2x^2$
向下
y轴
(0,0)
$y=\dfrac{1}{2}x^2 + 1$
向上
y轴
(0,1)
$y=-5(x + 2)^2$
向下
直线$x=-2$
(-2,0)
$y=3(x + 1)^2 - 4$
向上
直线$x=-1$
(-1,4)
总结 一般地,抛物线$y=a(x - h)^2 + k$与$y=ax^2$的形状相同,位置不同,把抛物线$y=ax^2$向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线$y=a(x - h)^2 + k$,平移的方向、距离要根据$h,k$的值来决定:当$h ＞ 0$时,表明将抛物线向右平移$h$个单位;当$k ＜ 0$时,表明将抛物线向下平移$|k|$个单位.

答案： 向下; y轴; (0,0); 向上; y轴; (0,1); 向下; 直线$x=-2$; (-2,0); 向上; 直线$x=-1$; (-1,4); 形状; 位置; 右; 下

例1 在平面直角坐标系中,画出函数$y=x^2 + 1$的图象.

解:列表:
x
... -2 -1 0 1 2 ...
y
... 5 2 1 2 5 ...
描点,连线:

答案： 解：
1. 列表：
| $ x $ | ... | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ... |
| :-----: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| $ y $ | ... | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 | ... |
2. 描点：在平面直角坐标系中描出点 $(-2,5)$, $(-1,2)$, $(0,1)$, $(1,2)$, $(2,5)$。
3. 连线：用平滑曲线顺次连接各点，得到函数 $ y = x^2 + 1 $ 的图象。
（注：图象为开口向上，顶点坐标为 $(0,1)$ 的抛物线。）

例2 已知抛物线$l_1$的顶点为(-2,5),且与抛物线$l_2:y=3(x - 1)^2 - 5$的形状相同,但开口方向相反,则抛物线$l_1$的解析式为$y=-3(x + 2)^2 + 5$.

答案： $y=-3(x + 2)^2 + 5$

例3 (1)把抛物线$y=3x^2$先向上平移4个单位,再向右平移3个单位,得到抛物线的解析式变为$y=3(x - 3)^2 + 4$;
(2)把抛物线$y=-2(x + 2)^2 - 5$先向左平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线的解析式变为$y=-2(x + 6)^2 - 7$;
(3)将函数$y=-3(x - 2)^2 - 5$的图象向左平移3个单位,再向上平移7个单位,就得到函数$y=-3(x + 1)^2 + 2$的图象.

答案： $y=3(x - 3)^2 + 4$; $y=-2(x + 6)^2 - 7$; 左; 3; 上; 7