《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

5. 若方程2x² - 2x + 3a - 4 = 0有两个不相等的实数根，则|a - 2|$ - \sqrt{a² + 16 - 8a}=$-2$.$

答案： -2

6. 求证：不论k取何值，方程(x - 2)(x - k) = k²都有不相等的实数根.

答案： 证明：
原方程化为一般形式：
$(x-2)(x-k) = k^2 \implies x^2 - (k+2)x + 2k - k^2 = 0$
计算判别式 $\Delta$：
$\Delta = [-(k+2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2k - k^2)$
$= k^2 + 4k + 4 - 8k + 4k^2$
$= 5k^2 - 4k + 4$
配方得：
$\Delta = 5\left(k^2 - \frac{4}{5}k\right) + 4 = 5\left(k - \frac{2}{5}\right)^2 + \frac{16}{5}$
因为 $\left(k - \frac{2}{5}\right)^2 \geq 0$，所以 $\Delta \geq \frac{16}{5} ＞ 0$。
故不论 $k$ 取何值，方程总有不相等的实数根。
结论：原方程有两个不相等的实数根。

解：x² - (2 + k)x + 2k = k² ∴$x² - (2 + k)x + 2k - k²=0 Δ=4 + 4k + k² + 4k² - 8k =5k² - 4k + 4 =5(k² - \frac{4}{5}k + \frac{4}{25}) + 4 - \frac{4}{5} =5(k - \frac{2}{5})² + \frac{16}{5} ＞ 0 $∴得证

答案： x² - (2 + k)x + 2k = k²
∴$x² - (2 + k)x + 2k - k²=0 Δ=4 + 4k + k² + 4k² - 8k =5k² - 4k + 4 =5(k² - \frac{4}{5}k + \frac{4}{25}) + 4 - \frac{4}{5} =5(k - \frac{2}{5})² + \frac{16}{5} ＞ 0 $
∴得证

7. 已知方程$x² - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2}) = 0.$
(1)求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰△ABC的一边长为4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长.

答案：
(1)见证明；
(2)$10$。

解：$$(1)Δ=(2k - 3)²≥0 (2)C_{△ABC}=10$$

答案： $(1)Δ=(2k - 3)²≥0 (2)C_{△ABC}=10$

一元二次方程根的判别式:关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b²-4ac.
(1)b²-4ac＞0⇔一元二次方程有两个不等实数根；
(2)b²-4ac=0⇔一元二次方程有两个相等实数根，即x₁=x₂=-b/(2a)；
(3)b²-4ac＜0⇔一元二次方程无实数根.
数的关系(1)

答案： Δ=b²-4ac; 不等; 相等; -b/(2a); 无

解下列方程,并填写表格：

一元二次方程 x₁ x₂ x₁+x₂ x₁·x₂
x²-6x+8=0 2 4 6 8
x²-2x-3=0 3 -1 2 -3
2x²-3x-2=0 -1/2 2 3/2 -1
x²-6x+9=0 3 3 6 9
x²-x-1=0 (1+√5)/2 (1-√5)/2 1 -1
根据上述表格,请猜想:关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),若b²-4ac＞0,则x₁+x₂=-b/a,x₁·x₂=c/a.你能证明你的结论吗？

答案： 2; 4; 6; 8; 3; -1; 2; -3; -1/2; 2; 3/2; -1; 3; 3; 6; 9; (1+√5)/2; (1-√5)/2; 1; -1; -b/a; c/a