《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

6. 在Rt△ABC中，∠C=90°.
(1)在BC边上取一点D，使得BD=DC，则tan∠ABC和tan∠ADC有什么大小关系？
(2)在BC边上取一点D，使得BD=2DC，则tan∠ABC和tan∠ADC有什么大小关系？
(3)在BC边上取一点D，使得BD=nDC(n＞0)，则tan∠ABC和tan∠ADC有什么大小关系？
解：(1)连接AD，如图，在Rt△ABC中，$tan∠ABC=\frac{AC}{BC}，$

在Rt△ADC中，$tan∠ADC=\frac{AC}{DC}，$而BD=DC，所以BC=2CD，$\n$所以$tan∠ABC=\frac{1}{2}·\frac{AC}{DC}，$所以$tan∠ABC=\frac{1}{2} tan∠ADC；$

(2)因为BD=2DC，所以BC=3DC，所以$tan∠ABC=\frac{1}{3}·\frac{AC}{DC}，$$\n$所以$tan∠ABC=\frac{1}{3} tan∠ADC；$
(3)因为BD=nDC，所以BC=(n+1)DC，$\n$所以$tan∠ABC=\frac{1}{n+1}·\frac{AC}{DC}，$所以$tan∠ABC=\frac{1}{n+1}tan∠ADC.$

答案：
解：
(1)连接AD，如图，在Rt△ABC中，$tan∠ABC=\frac{AC}{BC}，$

在Rt△ADC中，$tan∠ADC=\frac{AC}{DC}，$而BD=DC，所以BC=2CD，$\n$所以$tan∠ABC=\frac{1}{2}·\frac{AC}{DC}，$所以$tan∠ABC=\frac{1}{2} tan∠ADC；$

(2)因为BD=2DC，所以BC=3DC，所以$tan∠ABC=\frac{1}{3}·\frac{AC}{DC}，$$\n$所以$tan∠ABC=\frac{1}{3} tan∠ADC；$
(3)因为BD=nDC，所以BC=(n+1)DC，$\n$所以$tan∠ABC=\frac{1}{n+1}·\frac{AC}{DC}，$所以$tan∠ABC=\frac{1}{n+1}tan∠ADC.$

如图，已知斜坡AB长为60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC. 现计划在斜坡上的点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE的坡角为45°，求平台DE的长；（结果保留根号）
(2)一座建筑物GH距离A处30米远（即AG为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°，点B,C,A,G,H在同一个平面内，点C,A,G在同一条直线上，且HG⊥CG. 求建筑物GH的高度.（结果保留根号）

解：(1)∵修建的斜坡BE的坡角为45°，$\n$∴∠BEF=45°，$\n$∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30米，$\n$∴$BF=EF=\frac{1}{2} BD=15，$$DF=15\sqrt{3}$米，$\n$∴$DE=DF - EF=15\sqrt{3} - 15（$米），$\n$∴平台DE的长为$(15\sqrt{3} - 15)$米；
(2)过点D作DP⊥AC，垂足为$P.\n$在Rt△DPA中，$DP=\frac{1}{2} AD=15$米，$\n$∴$PA=AD·cos30°=15\sqrt{3}$米，$\n$∴在矩形DPGM中，MG=DP=15米，$DM=PG=PA + AG=15\sqrt{3} + 30（$米），$\n$在Rt△DMH中，$HM=DM·cos30°=(15\sqrt{3} + 30)×\frac{\sqrt{3}}{3}=15 + 10\sqrt{3}（$米），$\n$则$GH=HM + MG=15 + 10\sqrt{3} + 15=30 + 10\sqrt{3}（$米），$\n$答：建筑物GH的高度为$(30 + 10\sqrt{3})$米.

答案： 解：
(1)
∵修建的斜坡BE的坡角为45°，$\n$
∴∠BEF=45°，$\n$
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30米，$\n$
∴$BF=EF=\frac{1}{2} BD=15，$$DF=15\sqrt{3}$米，$\n$
∴$DE=DF - EF=15\sqrt{3} - 15（$米），$\n$
∴平台DE的长为$(15\sqrt{3} - 15)$米；
(2)过点D作DP⊥AC，垂足为$P.\n$在Rt△DPA中，$DP=\frac{1}{2} AD=15$米，$\n$
∴$PA=AD·cos30°=15\sqrt{3}$米，$\n$
∴在矩形DPGM中，MG=DP=15米，$DM=PG=PA + AG=15\sqrt{3} + 30（$米），$\n$在Rt△DMH中，$HM=DM·cos30°=(15\sqrt{3} + 30)×\frac{\sqrt{3}}{3}=15 + 10\sqrt{3}（$米），$\n$则$GH=HM + MG=15 + 10\sqrt{3} + 15=30 + 10\sqrt{3}（$米），$\n$答：建筑物GH的高度为$(30 + 10\sqrt{3})$米.