《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例5 如图,在矩形ABCD中,AD=4 cm，AB=24 cm,动点P从点A开始沿AB边以2 cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动.点P和点Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设动点的运动时间为t s.
(1)用含t的代数式表示:BP= (24-2t)cm；
(2)若四边形PBCQ为矩形,求t的值；
(3)是否存在t值,使得线段PQ的长为5 cm?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵动点P从点A开始沿AB边以2 cm/s的速度运动，
∴AP=2t，
又∵AB=24 cm，
∴BP=(24-2t)cm.
故答案为:(24-2t)cm；
(2)解:∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=24 cm，
由题意得，BP=24-2t，CQ=t，
当四边形PBCQ为矩形时，BP=CQ.
∴24-2t=t.
∴t=8.
(3)当CQ＜BP时，如图1，过点Q作QE⊥AB于E，
∴QE=CB=4，BE=CQ=t，
当PQ=5时，PE=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$，
∴BP=24-2t=t+3，
解得:t=7；
当CQ＞BP时，如图2，过点Q作QE⊥AB于E，
∴QE=CB=4，BE=CQ=t，
当PQ=5时，PE=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$，
∴BP=24-2t=t-3，
解得:t=9；
∴t=7或9.
反馈用
A组

答案： (24-2t); 解:
(1)
∵动点P从点A开始沿AB边以2 cm/s的速度运动，
∴AP=2t，
又
∵AB=24 cm，
∴BP=(24-2t)cm.
故答案为:(24-2t)cm；
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=24 cm，
由题意得，BP=24-2t，CQ=t，
当四边形PBCQ为矩形时，BP=CQ.
∴24-2t=t.
∴t=8.
(3)当CQ＜BP时，如图1，过点Q作QE⊥AB于E，
∴QE=CB=4，BE=CQ=t，
当PQ=5时，PE=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$，
∴BP=24-2t=t+3，
解得:t=7；
当CQ＞BP时，如图2，过点Q作QE⊥AB于E，
∴QE=CB=4，BE=CQ=t，
当PQ=5时，PE=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$，
∴BP=24-2t=t-3，
解得:t=9；
∴t=7或9.

1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）

A.四条边都相等
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
B

答案： B

2. 菱形的周长为20 cm,一条对角线的长是6 cm,则另一条对角线的长是8cm.

答案： 8

3. 如果一个平行四边形的一边长是10，一条对角线长为8，那么它的另一条对角线m的取值范围是12＜m＜28.

答案： 12＜m＜28

4. 已知矩形两条对角线所形成的一个角为120°，矩形的短边长为3 cm,则长边长为$3\sqrt{3}$cm,对角线长为6cm.

答案： $3\sqrt{3}$; 6

5. (1)如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后,所得图形与原来的图形重合,那么这个菱形是正方形吗？为什么？
(2)如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后,所得图形与原来的图形重合,那么这个四边形是正方形吗？为什么？

答:(1)是，因为对角线相等的菱形为正方形.
(2)是正方形.

答案：
答:
(1)是，因为对角线相等的菱形为正方形.
(2)是正方形.

6. 如图,□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证:四边形EFGH是矩形.

证:(1)∠H=180°-（∠HAB+∠HBA）=90°
同理∠F=∠HGF=90°
∴得证
B组

答案： 证:
(1)∠H=180°-（∠HAB+∠HBA）=90°
同理∠F=∠HGF=90°
∴得证

7. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC和CD上,AE=AF.
(1)求证:BE=DF.
(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点G,使OG=OA,连接EG,FG. 证明:四边形AEGF是菱形.

证:（1）Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)
∴BE=DF
（2）先证AFGF为□
又∵AE=AF
∴为菱形

答案： 证:（1）Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)
∴BE=DF
（2）先证AFGF为□
又
∵AE=AF
∴为菱形