《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例1 已知二次函数的图象经过点(-2,0),(1,0),(0,3),求二次函数的表达式.解$:$y=-\dfrac{3}{2}x² - \dfrac{3}{2}x + 3$$

答案： $y=-\dfrac{3}{2}x² - \dfrac{3}{2}x + 3$

例2 二次函数y=ax²+bx+c的部分图象如图所示,请写出二次函数的表达式.解:如图,y=-x² + 2x + 3

答案： y=-x² + 2x + 3

例3 已知二次函数的图象与x轴交于(-3,0),(1,0)两点,且与y轴交点的纵坐标为4,求这个二次函数的表达式.解$:$y=-\dfrac{4}{3}x² - \dfrac{8}{3}x + 4$$

答案： $y=-\dfrac{4}{3}x² - \dfrac{8}{3}x + 4$

1. 已知一个二次函数的图象的顶点是(-2,4),且过点(0,-4),求这个二次函数的表达式及其图象与x轴交点的坐标.解:y=a(x+2)² + 4 -4=4a + 4 -4a=8 a=-2 ∴$y=-2(x+2)² + 4 y=-2x² -8x -4 (-2+\sqrt{2},0) (-2-\sqrt{2},0)$

答案： y=a(x+2)² + 4 -4=4a + 4 -4a=8 a=-2
∴$y=-2(x+2)² + 4 y=-2x² -8x -4 (-2+\sqrt{2},0) (-2-\sqrt{2},0)$

2. 如图,已知点O(0,0),A(2,1),抛物线l:y=-(x-h)²+1(h为常数)与y轴的交点为B.(1)若l经过点A,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标.(2)设点B的纵坐标为y_B，求y_B的最大值,此时l上有两点(x₁,y₁),(x₂,y₂),其中x₁ ＞ x₂≥0,比较y₁与y₂的大小.解:(1)y=-(x-2)² + 1 x=2 (2,1)(2)y₁ ＜ y₂,y_B的最大值为1

答案：
(1)y=-(x-2)² + 1 x=2 (2,1)
(2)y₁ ＜ y₂,y_B的最大值为1

3. 已知二次函数y=ax²+1的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象有一个公共点是(-1,-1).(1)求二次函数及反比例函数的表达式.(2)结合图象说明,x取何值时,二次函数与反比例函数的函数值y都随x的增大而减小?解:$(1)y=-2x² + 1 y=\dfrac{1}{x}(2)$对于函数y=-2x² + 1,当x＞0时,y随x增大而减小,而$y=\dfrac{1}{x}$在每个象限的y随x增大而减小则当x＞0时二次函数与反比例函数都随x的增大而减小

答案： $(1)y=-2x² + 1 y=\dfrac{1}{x}(2)$对于函数y=-2x² + 1,当x＞0时,y随x增大而减小,而$y=\dfrac{1}{x}$在每个象限的y随x增大而减小则当x＞0时二次函数与反比例函数都随x的增大而减小