《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例2 如图,$□ ABCD$的对角线交于点$O$,过点$O$作$EF\perp BD$,分别交$AD$,$BC$于点$E$,$F$.求证:四边形$BEDF$是菱形.

证明:先证$□ BEDF$,
再由$EF\perp BD$证菱形.

答案： 先证$□ BEDF$,
再由$EF\perp BD$证菱形.

例3 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$BE$平分$\angle ABC$,$CD\perp AB$于点$D$,$EH\perp AB$于点$H$,$CD$交$BE$于点$F$.求证:四边形$CEHF$为菱形.

证明:由角平分线性质证$EH=EC$,
理由角平分线&平行证等腰$\triangle $.
$\therefore CF\underline{\underline{//}} EH$且$EH=EC$.
$\therefore$ 得证.

答案： 由角平分线性质证$EH=EC$,
理由角平分线&平行证等腰$\triangle $.
$\therefore CF\underline{\underline{//}} EH$且$EH=EC$.
$\therefore$ 得证.

例4 将两张完全相同的矩形纸片$ABCD$,$FBED$按如图所示方式放置,$BD$为重合的对角线,重叠部分为四边形$DHBG$.
(1)试判断四边形$DHBG$为何种特殊的四边形,并说明理由；
(2)若$AB=8$,$AD=4$,求四边形$DHBG$的面积.

证明:(1)菱形.
(2)$S=20$.

答案：
(1)菱形.
(2)$S=20$.

1.(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；

答案： 平行四边形

(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；

答案： 菱形

(3)两组对边分别平行,且对角线垂直的四边形是菱形.

答案： 垂直

2.在下列条件中,能够判定四边形是菱形的是（D）

A.两条对角线相等
B.两条边垂直
C.两条对角线互相垂直
D.两条对角线互相垂直平分

答案： D

3.如图,已知$M$是等腰$\triangle ABC$底边$BC$的中点,$MG\perp AB$,$DE\perp AB$,$MD\perp AC$,$GF\perp AC$.求证:四边形$HGMD$是菱形.

证明:$\because \left\lbrace\begin{align}&\angle B=\angle C \\&\angle BGM=\angle CDM \\&BM=MC\end{align}\right.$
$\therefore \triangle GBM\cong \triangle DCM(AAS)$
$\therefore MD=MG$
$\because HD// GM$,$MD// GH$.
$\therefore$ 四边形$GHDM$为$□ $.
又$\because MD=MG$
$\therefore □ GHDM$为菱形.

答案： $\because \left\lbrace\begin{align}&\angle B=\angle C \\&\angle BGM=\angle CDM \\&BM=MC\end{align}\right.$
$\therefore \triangle GBM\cong \triangle DCM(AAS)$
$\therefore MD=MG$
$\because HD// GM$,$MD// GH$.
$\therefore$ 四边形$GHDM$为$□ $.
又$\because MD=MG$
$\therefore □ GHDM$为菱形.

4.如图,在四边形$ABCD$中,$AD=BC$,$E$,$F$,$G$,$H$分别是$AB$,$CD$,$AC$,$BD$的中点.
求证:四边形$EGFH$是菱形.

证明:$\because$ 点$E、F、G、H$分别是$AB、CD、AC、BD$的中点,
$\therefore GF$是$\triangle ADC$的中位线,$GE$是$\triangle ABC$的中位线,$EH$是$\triangle ABD$的中位线,
$\therefore GF// AD$,$GF=\frac{1}{2}AD$,$GE=\frac{1}{2}BC$,$EH// AD$,$EH=\frac{1}{2}AD$,
$\therefore GF// EH$,$GF=EH$,
$\therefore$ 四边形$EGFH$是平行四边形,
又$\because AD=BC$,
$\therefore GE=EH$,
$\therefore$ 四边形$EGFH$是菱形.

答案： $\because$ 点$E、F、G、H$分别是$AB、CD、AC、BD$的中点,
$\therefore GF$是$\triangle ADC$的中位线,$GE$是$\triangle ABC$的中位线,$EH$是$\triangle ABD$的中位线,
$\therefore GF// AD$,$GF=\frac{1}{2}AD$,$GE=\frac{1}{2}BC$,$EH// AD$,$EH=\frac{1}{2}AD$,
$\therefore GF// EH$,$GF=EH$,
$\therefore$ 四边形$EGFH$是平行四边形,
又$\because AD=BC$,
$\therefore GE=EH$,
$\therefore$ 四边形$EGFH$是菱形.

5.如图,将菱形$ABCD$沿$AC$方向平移至$A'B'C'D'$,$A'D'$交$CD$于点$E$,$A'B'$交$BC$于点$F$.判断四边形$A'FCE$是不是菱形,并说明理由.


答:是

答案： 是