《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例1 将抛物线$y = x^2 + 2x - 4$向右平移2个单位,又向上平移3个单位,最后绕顶点旋转$180°$,求变换后新抛物线的解析式.
解:$y = -(x - 1)^2 - 2$
$= -x^2 + 2x - 1$
变式

答案： 解:$y = -(x - 1)^2 - 2$
$= -x^2 + 2x - 1$

(1)求抛物线$y = x^2 + 2x - 4$关于x轴对称的抛物线的解析式；

答案： 在原抛物线$y = x^{2} + 2x - 4$上取三点，例如顶点（为方便计算可取$x= -1$时对应的点）以及与$y$轴交点$(0, - 4)$，与$x$轴的一个交点（假设为$(x_1,0)$，实际取点不影响结果，这里我们取整数点方便计算，
当$x=1$时，$y=-1$，即取$(1,-1)$）。
原抛物线上的点$( - 1,-5)$，$(0, - 4)$，$(1,-1)$关于$x$轴对称的点为$( - 1,5)$，$(0,4)$，$(1,1)$。
设新抛物线的解析式为$y = ax^{2} + bx + c$，将$( - 1,5)$，$(0,4)$，$(1,1)$代入解析式：
$\begin{cases}a - b + c = 5,\\c = 4,\\a + b + c = 1.\end{cases}$
将$c = 4$代入$a - b + c = 5$和$a + b + c = 1$得：
$\begin{cases}a - b = 1,\\a + b =- 3.\end{cases}$
两式相加得$2a=-2$，即$a = - 1$，
两式相减得$-2b = 4$，即$b = - 2$。
所以，新抛物线的解析式为$y = - x^{2} - 2x + 4$。

(2)求抛物线$y = x^2 + 2x - 4$关于y轴对称的抛物线的解析式；

答案： 设所求抛物线上任意一点$P(x, y)$，
则点$P$关于$y$轴的对称点$P^{\prime}(-x, y)$在已知抛物线$y = x^{2} + 2x - 4$上，
将$P^{\prime}(-x, y)$代入$y = x^{2} + 2x - 4$，得：
$y = (-x)^{2} + 2× (-x) - 4$
$y = x^{2} - 2x - 4$
故所求抛物线的解析式为$y = x^{2} - 2x - 4$。

(3)求抛物线$y = x^2 + 2x - 4$关于O点对称的抛物线的解析式；

答案： 设所求抛物线上任意一点$P(x, y)$，
则$P$关于$O$点的对称点$P^{\prime}(-x, -y)$在原抛物线$y = x^2 + 2x - 4$上。
将$P^{\prime}(-x, -y)$代入原抛物线方程得：
$-y = (-x)^2 + 2(-x) - 4$
$-y = x^2 - 2x - 4$
两边同时乘以-1，得到：
$y = -x^2 + 2x + 4$
故所求抛物线的解析式为$y = -x^2 + 2x + 4$。

(4)求抛物线$y = x^2 + 2x - 4$关于直线$y = x$对称的抛物线的解析式；

答案： 1. 设所求抛物线上任一点为$(x,y)$，则该点关于直线$y=x$的对称点$(y,x)$在原抛物线$y=x^2+2x-4$上。
2. 将$(y,x)$代入原抛物线方程，得$x=y^2+2y-4$。
3. 整理得$y^2+2y - x - 4=0$，解关于$y$的一元二次方程：
$y=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-x-4)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{4x+20}}{2}=-1\pm\sqrt{x+5}$。
结论：$y=-1+\sqrt{x+5}$和$y=-1-\sqrt{x+5}$。

例2 已知抛物线$y = ax^2 + bx - 1$的对称轴为直线$x = -1$,其最高点在直线$y = 2x + 4$上,求抛物线的解析式及抛物线与直线的交点坐标.
解:$y = -3(x + 1)^2 + 2$
$(-1,2)$
$(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$

答案： 解:$y = -3(x + 1)^2 + 2$
$(-1,2)$
$(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$

例3 已知y是x的二次函数,且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位,当$x = 3$时,y取得最小值-2.
(1)求这个二次函数的表达式；
解:(1)$y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$

答案： 解:
(1)$y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$

(2)若此函数图象上有一点P,使$\triangle PAB$的面积等于12个平方单位,求点P的坐标.
(2)$P_1(7,6)$
$P_2(-1,6)$
反馈
A组

答案：
(2)$P_1(7,6)$
$P_2(-1,6)$

1.已知某二次函数,当$x ＜ 1$时,y随x的增大而减小；当$x ＞ 1$时,y随x的增大而增大.则该二次函数的表达式可以是 ( )

A.$y = 2(x + 1)^2$
B.$y = 2(x - 1)^2$
C.$y = -2(x + 1)^2$
D.$y = -2(x - 1)^2$
B

答案： B

2.顶点在点$M(-2,1)$,且图象经过原点的二次函数的表达式是 ( )

A.$y = (x - 2)^2 + 1$
B.$y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 + 1$
C.$y = (x + 2)^2 + 1$
D.$y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 + 1$
B

答案： B

3.已知二次函数的图象经过原点,且当$x = 2$时,函数有最小值为-1,求这个函数的表达式.
解:$y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 1$

答案： 解:$y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 1$

4.抛物线$y = ax^2 + bx + c$与$y = -x^2$的形状相同,对称轴是直线$x = 3$,最高点在直线$y = x + 1$上,求抛物线的解析式.
解:$y = -(x - 3)^2 + 4$
B组

答案： 解:$y = -(x - 3)^2 + 4$