《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

10.如图,在平面直角坐标系中,将四边形OABC四个顶点的横坐标、纵坐标分别乘-2,画出以所得四个点为顶点的四边形,并指出这两个四边形的位似中心和相似比.解:如图,四边形ODEF为所作,四边形OABC和四边形ODEF是位似图形,位似中心为原点,相似比为2.【点评】本题考查了作图-位似变换:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

答案：
解:如图,四边形ODEF为所作,四边形OABC和四边形ODEF是位似图形,位似中心为原点,相似比为2.【点评】本题考查了作图-位似变换:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

11.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14.点P在BD上移动,以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,求PB的长.解:设DP=x,则BP=BD-PD=14-x,∵AB⊥BD于B,CD⊥BD于D,∴∠B=∠D=90°,∴当$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$时,△ABP∽△CDP,即$\frac{6}{4}=\frac{14-x}{x},$解得$x=\frac{28}{5}BP=14-\frac{28}{5}=8.4；$当$\frac{AB}{DP}=\frac{BP}{DC}$时,△ABP∽△PDC,即$\frac{6}{x}=\frac{14-x}{4},$整理得x²-14x+24=0,解得$x_{1}=2,x_{2}=12,BP=14-2=12,BP=14-12=2,$∴当BP为8.4或2或12时,以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B为顶点的三角形相似.故答案为:8.4或2或12.

答案： 解:设DP=x,则BP=BD-PD=14-x,
∵AB⊥BD于B,CD⊥BD于D,
∴∠B=∠D=90°,
∴当$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$时,△ABP∽△CDP,即$\frac{6}{4}=\frac{14-x}{x},$解得$x=\frac{28}{5}BP=14-\frac{28}{5}=8.4；$当$\frac{AB}{DP}=\frac{BP}{DC}$时,△ABP∽△PDC,即$\frac{6}{x}=\frac{14-x}{4},$整理得x²-14x+24=0,解得$x_{1}=2,x_{2}=12,BP=14-2=12,BP=14-12=2,$
∴当BP为8.4或2或12时,以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B为顶点的三角形相似.故答案为:8.4或2或12.