《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 你能利用二次函数的知识解决实际问题中常见几何图形面积的最值问题吗？

答案： 能。
1. 设几何图形中相关变量为x，根据几何图形面积公式列出面积S关于x的二次函数关系式S=ax²+bx+c(a≠0)；
2. 若a＜0，函数图象开口向下，当x=-b/(2a)时，S有最大值，最大值为(4ac-b²)/(4a)；
3. 结合实际问题中x的取值范围，验证x=-b/(2a)是否在该范围内，若在，则此时面积最大；若不在，根据二次函数在取值范围内的增减性确定面积最大值。

2. 解决这类问题的一般步骤是怎样的？与同伴进行交流.

答案： 1. 理解题意，明确问题中的变量与常量，找出等量关系。
2. 设适当的未知数，用含未知数的代数式表示相关量。
3. 根据等量关系列出二次函数关系式。
4. 确定二次函数的定义域（自变量的取值范围）。
5. 利用二次函数的性质（开口方向、顶点坐标）求出函数的最大值或最小值。
6. 检验结果是否符合实际意义，写出答案。

周长一定的情况下,面积最大的矩形是正方形,请结合二次函数的知识探索理由.

答案： 设矩形周长为定值$ C(C＞0) $，一边长为$ x $，则另一边长为$ \frac{C}{2}-x $，其中$ 0＜x＜\frac{C}{2} $。
矩形面积$ S=x\left(\frac{C}{2}-x\right)=-x^{2}+\frac{C}{2}x $。
此二次函数中，$ a=-1＜0 $，函数图象开口向下，有最大值。
对称轴为$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{C}{2}}{2×(-1)}=\frac{C}{4} $。
当$ x=\frac{C}{4} $时，另一边长为$ \frac{C}{2}-\frac{C}{4}=\frac{C}{4} $，即矩形邻边相等，为正方形。
综上，周长一定时，面积最大的矩形是正方形。

例1 如图,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)设长方形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y m²,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少？
(3)如果设AD边的长为x m,那么问题的结果会怎样？

解：(1)AD=30 - $\frac{3}{4}$x (0＜x＜40)
(2)y=-$\frac{3}{4}$x² + 30x
当x=-$\frac{30}{2×(-\frac{3}{4})}$=20时
y_{max}=300
(3)设AD=x
AB=40 - $\frac{4}{3}$x；
y=-$\frac{4}{3}$x² + 40x(0＜x＜30)；
当x=15时,y_{最大}=300.

答案： 解：
(1)AD=30 - $\frac{3}{4}$x (0＜x＜40)
(2)y=-$\frac{3}{4}$x² + 30x
当x=-$\frac{30}{2×(-\frac{3}{4})}$=20时
y_{max}=300
(3)设AD=x
AB=40 - $\frac{4}{3}$x；
y=-$\frac{4}{3}$x² + 40x(0＜x＜30)；
当x=15时,y_{最大}=300.

在上面的问题中,如果把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变,那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？

解：S_{max}=300 m²
设DA=x
S=-$\frac{12}{25}$x² + 24x

答案： 解：S_{max}=300 m²
设DA=x
S=-$\frac{12}{25}$x² + 24x

例2 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01 m)此时,窗户的面积是多少？

解：(1)x≈1.07m
$S_{max}=4.02 m²$

答案： 解：
(1)x≈1.07m
$S_{max}=4.02 m²$