《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例2 海岛A的周围8 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°；航行12 n mile后到达点D处，又测得海岛A位于北偏东30°.如果渔船不改变航向继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？根据题意画出大致图形，并根据图形解答本题.
解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点A作AC⊥BD，垂足为C.根据题意可知：∠ABD=30°，∠ADC=60°，∵∠ADC=∠ABD+∠BAD，∴∠BAD=30°=∠ABD，∴DB=DA=12，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，sin∠ADC=$\frac{AC}{AD}$，∴sin60°=$\frac{AC}{12}$，∴AC=12×sin60°=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，∵6$\sqrt{3}\gt8$，∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险.

答案： 解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点A作AC⊥BD，垂足为C.根据题意可知：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
∵∠ADC=∠ABD+∠BAD，
∴∠BAD=30°=∠ABD，
∴DB=DA=12，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，sin∠ADC=$\frac{AC}{AD}$，
∴sin60°=$\frac{AC}{12}$，
∴AC=12×sin60°=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
∵6$\sqrt{3}\gt8$，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险.

例3 如图，在山脚C处测得山顶A的仰角为45°，沿着倾斜角为30°的斜坡前进300米到达D处，在D处测得山顶的仰角为60°.求山高AB.（结果保留根号）
解：AB=(150$\sqrt{3}$+150)m

答案： 解：AB=(150$\sqrt{3}$+150)m

变式 如图，大楼高30 m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°.求塔高BC及大楼与塔之间的距离AC.（结果保留根号）
【分析】设塔高BC为x m，由在Rt△ABC中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AD}$与在Rt△BDE中，tan∠BDE=$\frac{BE}{DE}$，AC=DE，列方程即可求得x的值，继而求得塔高BC及大楼与塔之间的距离AC.解：设塔高BC为x m.tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$，∴AC=$\frac{BC}{\tan∠BAC}$=$\frac{x}{\tan60°}$=$\frac{x}{\sqrt{3}}$，tan∠BDE=$\frac{BE}{DE}$，∴DE=$\frac{BE}{\tan∠BDE}$=$\frac{x - 30}{\tan30°}$=$\frac{x - 30}{\frac{1}{\sqrt{3}}}$=$\sqrt{3}(x - 30)$，∵AC=DE，∴$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}(x - 30)$，∴x=45(m)，这时AC=$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{45}{\sqrt{3}}$=15$\sqrt{3}$(m).答：塔高BC为45米，大楼与塔之间的距离AC约15$\sqrt{3}$m.
反馈用
A组

答案： 【分析】设塔高BC为x m，由在Rt△ABC中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AD}$与在Rt△BDE中，tan∠BDE=$\frac{BE}{DE}$，AC=DE，列方程即可求得x的值，继而求得塔高BC及大楼与塔之间的距离AC.解：设塔高BC为x m.tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$，
∴AC=$\frac{BC}{\tan∠BAC}$=$\frac{x}{\tan60°}$=$\frac{x}{\sqrt{3}}$，tan∠BDE=$\frac{BE}{DE}$，
∴DE=$\frac{BE}{\tan∠BDE}$=$\frac{x - 30}{\tan30°}$=$\frac{x - 30}{\frac{1}{\sqrt{3}}}$=$\sqrt{3}(x - 30)$，
∵AC=DE，
∴$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}(x - 30)$，
∴x=45(m)，这时AC=$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{45}{\sqrt{3}}$=15$\sqrt{3}$(m).答：塔高BC为45米，大楼与塔之间的距离AC约15$\sqrt{3}$m.

1. 如图，从B处测得建筑物上旗杆EC顶点C的仰角是60°，再从B的正上方40米高层上A处，测得C的仰角是45°，那么旗杆顶点C离地面的高度CD是 （60 + 20$\sqrt{3}$）m.

答案： （60 + 20$\sqrt{3}$）m

2. 已知菱形ABCD的对角线AC长为10，∠BAC=30°，那么AD为 （A）

A.$\frac{10\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{15\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$

答案： A