《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

请同学们自主学习教材第88~89页的内容,关注以下问题.
方法1:利用阳光下的影子.
(1)设计原理；
(2)需测数据.
方法2:利用标杆.
(1)设计原理；
(2)需测数据；
(3)优缺点.
方法3:利用镜子的反射.
(1)设计原理；
(2)需测数据.
思考:你还有哪些测量旗杆高度的方法？

答案： 方法1:利用阳光下的影子
(1)设计原理：同一时刻，太阳光线平行，人和旗杆与地面垂直，构成两个相似直角三角形，相似三角形对应边成比例。
(2)需测数据：人的身高、人的影长、旗杆的影长。
方法2:利用标杆
(1)设计原理：通过标杆构造相似三角形，人眼、标杆顶端、旗杆顶端三点共线，形成两个相似直角三角形，对应边成比例。
(2)需测数据：标杆高度、人眼到地面的高度、人到标杆的水平距离、人到旗杆的水平距离。
(3)优点：不受天气限制（阴天可测量）；缺点：需精确保证三点共线，操作难度大，易产生误差。
方法3:利用镜子的反射
(1)设计原理：光的反射定律（入射角=反射角），人、镜子、旗杆底部构成两个相似直角三角形，相似三角形对应边成比例。
(2)需测数据：人的身高、人到镜子的距离、镜子到旗杆底部的距离。
思考
利用两个不同位置的标杆，分别构造相似三角形测量旗杆高度（或其他基于相似三角形的方法，如利用测倾器辅助构造相似三角形）。

古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法.如图,为了测量金字塔的高度$OB$,先竖一根已知长度的木棒$O'B'$,比较棒子的影长$A'B'$与金字塔的影长$AB$,即可近似算出金字塔的高度$OB$.
(1)如果$O'B'=1$,$A'B'=2$,$AB=274$,求金字塔的高度$OB$.解：(1)$OB=$137

(2)小穆罕默德测得金字塔的影长$AC$为320米,他同时测得长1米的小木棒$O'B'$的影长为2米.在父亲的帮助下,他还测得了金字塔底边$CD$的长度大约是230米.你能不能帮助小穆罕默德求出这座金字塔的高度？

(2)小穆罕默德测得金字塔的影长$AC$为320米,他同时测得长1米的小木棒$O'B'$的影长为2米.在父亲的帮助下,他还测得了金字塔底边$CD$的长度大约是230米.你能不能帮助小穆罕默德求出这座金字塔的高度？解：高为217.5m

答案： 137; 217.5

例1 如图,路灯($P$点)距地面8米,小明在距路灯的底部($O$点)20米的$A$点时,测得此时他的影长$AM$为5米.(1)求小明的身高.(2)小明沿$OA$所在的直线行走14米到$B$点时,身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：(1)∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP,∴$\frac{MA}{MO}=\frac{AC}{OP}$,即$\frac{5}{20+5}=\frac{AC}{8}$,解得,$AC=1.6$米,即小明的身高为1.6米(2)∵∠NBD=∠NOP=90°,∠BND=∠ONP,∴△NBA∽△NOP,∴$\frac{NB}{20-14+BN}=\frac{1.6}{8}$,解得,$NB=1.5$米,∴5-1.5=3.5米,∴小明的身影变短了3.5米.

答案： 解答：
(1)
∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,
∴△MAC∽△MOP,
∴$\frac{MA}{MO}=\frac{AC}{OP}$,即$\frac{5}{20+5}=\frac{AC}{8}$,解得,$AC=1.6$米,即小明的身高为1.6米
(2)
∵∠NBD=∠NOP=90°,∠BND=∠ONP,
∴△NBA∽△NOP,
∴$\frac{NB}{20-14+BN}=\frac{1.6}{8}$,解得,$NB=1.5$米,
∴5-1.5=3.5米,
∴小明的身影变短了3.5米.

例2 太原双塔寺又名永祚寺,是国家级文物保护单位,由于双塔(舍利塔、文峰塔)耸立,被人们称为“文笔双塔”,是太原的标志性建筑之一.某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度,如图,在地面上的$C$处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆$CD$,这时地面上的点$E$、标杆的顶端点$D$、舍利塔的塔尖点$B$正好在同一直线上,测得$EC=4$米;将标杆$CD$向后平移到点$G$处,这时地面上的点$F$、标杆的顶端点$H$、舍利塔的塔尖点$B$正好在同一直线上(点$F,G,E,C$与塔底处的点$A$在同一直线上),这时测得$FG=6$米,$GC=53$米.请你根据以上数据,计算舍利塔的高度$AB$.解:$AB=55$m

答案： 解:$AB=55$m