《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例3 某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾的养殖成本为6元,在整个销售旺季的 80 天里,销售单价 p 元/千克与时间第 t 天之间的函数关系为 $p=\begin{cases} \frac{1}{4}t + 16(1\leqslant t\leqslant40,t为整数), \\ -\frac{1}{2}t + 46(41\leqslant t\leqslant80,t为整数), \end{cases}$ 日销售量 y 千克与时间第 t 天之间的函数关系如图所示. (1)求 y 与 t 之间的函数表达式. (2)哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少? (3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元?

答案： 答案略

解:(1)设日销售量 y 与时间 t 的函数解析式为 y = kt + b(k≠0) 将（1，198）、（80，40）代入,得: $\begin{cases} k + b = 198 \\ 80k + b = 40 \end{cases}$ 解得:$\begin{cases} k = -2 \\ b = 200 \end{cases}$ ∴y = -2t + 200($1\leqslant t\leqslant80$,t为整数) (2)设日销售利润为 w,则 w = (p - 6)y ①当$1\leqslant t\leqslant40$时 w = ($\frac{1}{4}t + 16 - 6$)(-2t + 200) = -$\frac{1}{2}$(t - 30)^2 + 2450 当 t = 30 时,w 有最大值 2450 元； ②当$41\leqslant t\leqslant80$时 w = ($-\frac{1}{2}t + 46 - 6$)(-2t + 200) = (t - 90)^2 - 100 ∴当 t = 41 时,w 有最大值 2301 ∵2450 ＞ 2301 ∴第 30 天的日销售利润最大,最大利润为 2450 元； (3)由(2)得:当$1\leqslant t\leqslant40$时, w = -$\frac{1}{2}$(t - 30)^2 + 2450, 令 w = 2400,即 -$\frac{1}{2}$(t - 30)^2 + 2450 = 2400, 解得:$t_1$ = 20、$t_2$ = 40, 由函数 w = -$\frac{1}{2}$(t - 30)^2 + 2450 图象可知, 当 20≤t≤40 时,日销售利润不低于 2400 元, 而当$41\leqslant t\leqslant80$时,w 最大 = 2301 ＜ 2400, ∴t 的取值范围是 20≤t≤40,∴共有 21 天符合条件.

答案：
(1)设日销售量$y$与时间$t$的函数解析式为$y=kt+b(k\neq0)$，
将$(1,198)$、$(80,40)$代入，
得$\begin{cases}k+b=198,\\80k+b=40.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2,\\b=200.\end{cases}$
$\therefore y=-2t+200(1\leqslant t\leqslant80$，$t$为整数$)$。
(2)设日销售利润为$w$，则$w=(p-6)y$。
①当$1\leqslant t\leqslant40$时，
$w=(\frac{1}{4}t+16-6)(-2t+200)=-\frac{1}{2}(t-30)^{2}+2450$，
$\therefore$当$t=30$时，$w$最大值为$2450$元。
②当$41\leqslant t\leqslant80$时，
$w=(-\frac{1}{2}t+46-6)(-2t+200)=(t-90)^{2}-100$，
$\therefore$当$t=41$时，$w$最大值为$2301$元。
$\because2450＞2301$，
$\therefore$第$30$天的日销售利润最大，最大利润为$2450$元。
(3)由
(2)得：当$1\leqslant t\leqslant40$时，
$w=-\frac{1}{2}(t-30)^{2}+2450$，
令$w=2400$，即$-\frac{1}{2}(t-30)^{2}+2450=2400$，
解得$t_{1}=20$，$t_{2}=40$，
由函数$w=-\frac{1}{2}(t-30)^{2}+2450$图象可知，
当$20\leqslant t\leqslant40$时，日销售利润不低于$2400$元，
而当$41\leqslant t\leqslant80$时，$w$最大$=2301＜2400$，
$\therefore t$的取值范围是$20\leqslant t\leqslant40$，
$\therefore$共有$21$天符合条件。

1. 烟花厂为春节特别设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系式是 $h=-\frac{3}{2}t^2 + 12t + 30$. 若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为 （B） A.3 s B.4 s C.5 s D.6 s

答案： B

2. 若$y=(a - 1)x^2 - 2\sqrt{2}x + a$的最大值为 0,则 a = -1.

答案： -1

3. 某商店购进一批单价为 20 元的日用品,如果以单价 30 元销售,那么半个月内可以售出 400 件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高 1 元,销售量相应减少 20 件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?

答案： 设销售单价提高 $x$ 元，则销售单价为 $30 + x$ 元。
销售量减少 $20x$ 件，则销售量为 $400 - 20x$ 件。
每件日用品的利润为 $(30 + x - 20)$ 元。
总利润 $y$ 可以表示为：
$y = (30 + x - 20)(400 - 20x)$
$y = (10 + x)(400 - 20x)$
$y = 4000 + 400x - 200x - 20x^{2}$
$y = -20x^{2} + 200x + 4000$
$y = -20(x^{2} - 10x) + 4000$
$y = -20(x^{2} - 10x + 25) + 4000 + 500$
$y = -20(x - 5)^{2} + 4500$
由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，因此当 $x = 5$ 时，$y$ 取得最大值 $4500$。
答：销售单价应提高 $5$ 元，才能在半个月内获得最大利润。

解：W = -20$x^2$ + 200x + 4000 当 x = 5 时 售价提高 5 元

答案： 答题卡：
解：
由题意，总利润$W$可以表示为：
$W = (售价 - 成本) × 销售量$
已知$W = -20x^{2} + 200x + 4000$，其中，$x$表示售价提高的元数。
这是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，对称轴的公式为 $x = -\frac{b}{2a}$。
将$a = -20$，$b = 200$代入得：
$x = -\frac{200}{2 × (-20)} = 5$
将$x = 5$代入原方程，可以求得最大利润，但题目只要求$x$的值，所以此步可以省略。
故当售价提高5元时，获得最大利润。

4. 为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克 20 元.市场调查发现,这种产品每天的销售量 y(千克)与销售价 x(元/千克)之间有如下关系:y = -2x + 80.设这种产品每天的销售利润为 w 元. (1)求 w 与 x 之间的函数表达式. (2)这种产品的销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克 28 元,那么该农户想要每天获得 150 元的销售利润,销售价应定为多少?

答案：
(1) 解：
总利润 $w$ 由每千克利润和销售量共同决定，即：
$w = (售价 x - 成本 20) × 销售量 y$
$w = (x - 20) × (-2x + 80)$
$w = -2x^2 + 120x - 1600$
(2) 解：
利润函数为二次函数 $w = -2x^2 + 120x - 1600$，由于二次项系数为负，函数开口向下。
对称轴为 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{120}{2 × (-2)} = 30$。
将 $x = 30$ 代入 $w$，得 $w_{max} = 200$。
答：销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润为 200 元。
(3) 解：
根据题意，当 $w = 150$ 时，有：
$-2x^2 + 120x - 1600 = 150$
整理得：
$x^2 - 60x + 875 = 0$
解得 $x_1 = 25$，$x_2 = 35$。
由于 $x \leq 28$，所以 $x_2 = 35$ 不合题意，舍去。
答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克 25 元。