《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

(1)求该抛物线的解析式和顶点D的坐标.
(2)以B,C,D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

解:(1)$y = a(x + 1)(x - 3)$
$-3 = -3a$
$a = 1$
∴$y = x^2 - 2x - 3$
∴$D(1,-4)$
(2)是
$BC^2 + CD^2 = BD^2$

答案：
(1)$y = a(x + 1)(x - 3)$
$-3 = -3a$
$a = 1$
∴$y = x^2 - 2x - 3$
∴$D(1,-4)$
(2)是
$BC^2 + CD^2 = BD^2$

(1)求k的取值范围.
(2)设抛物线与x轴交于A,B两点,且点A在点B的左侧,D是抛物线的顶点,如果$\triangle ABD$是等腰直角三角形,求抛物线的解析式.
(3)在(2)问的条件下,抛物线与y轴交于点C,点E在y轴的正半轴上,若以A,O,E为顶点的三角形和以B,O,C为顶点的三角形相似,求点E的坐标.
解:(1)$k ＜ \frac{1}{2}$
(2)$y = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}$
(3)$E_1(0,\frac{1}{2})$
$E_2(0,2)$

答案：
(1)$k ＜ \frac{1}{2}$
(2)$y = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}$
(3)$E_1(0,\frac{1}{2})$
$E_2(0,2)$

1.若抛物线$y = x^2 - (2k + 1)x + k^2 + 2$与x轴有两个交点,则整数k的最小值是2.

答案： 2

2.二次函数$y = x^2 + 3x + 5$的图象与一次函数$y = 7x + 1$的图象有(A)

A.一个交点
B.两个交点
C.没有交点
D.交点个数不确定

答案： A

3.已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象如图所示,顶点为$A(1,4)$,抛物线与y轴交于点$B(0,3)$,与x轴交于$C(-1,0),D$两点.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)结合图象填空：
①关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 3$的解是$x_1 = 0,x_2 = 2$；
②不等式$ax^2 + bx + c ＜ 0$的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 3$.

解:(1)由图象可知抛物线顶点为$(1,4)$,
∴设抛物线解析式为$y = a(x - 1)^2 + 4$,
∵抛物线与y轴交于点$B(0,3)$,
∴$3 = a + 4$,解得$a = -1$,
∴抛物线的解析式为$y = -(x - 1)^2 + 4$;
(2)①∵抛物线对称轴为直线$x = 1$,
∴$(0,3)$的对称点是$(2,3)$,
∴关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 3$的解是$x_1 = 0,x_2 = 2$;
②∵抛物线对称轴为直线$x = 1$,
∴$(-1,0)$的对称点是$(3,0)$,
∴不等式$ax^2 + bx + c ＜ 0$的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 3$,
故答案为$x ＜ -1$或$x ＞ 3$.

答案： $x_1 = 0,x_2 = 2$; $x ＜ -1$或$x ＞ 3$;
(1)由图象可知抛物线顶点为$(1,4)$,
∴设抛物线解析式为$y = a(x - 1)^2 + 4$,
∵抛物线与y轴交于点$B(0,3)$,
∴$3 = a + 4$,解得$a = -1$,
∴抛物线的解析式为$y = -(x - 1)^2 + 4$;
(2)①
∵抛物线对称轴为直线$x = 1$,
∴$(0,3)$的对称点是$(2,3)$,
∴关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 3$的解是$x_1 = 0,x_2 = 2$;
②
∵抛物线对称轴为直线$x = 1$,
∴$(-1,0)$的对称点是$(3,0)$,
∴不等式$ax^2 + bx + c ＜ 0$的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 3$,
故答案为$x ＜ -1$或$x ＞ 3$.