《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

6. 如图,P是边长为1的菱形ABCD的对角线AC上一个动点,点M和N分别是AB,BC的中点,则MP+NP的最小值是 1 .

答案： 1

7. 剪两个全等的等腰三角形(三边不全相等)纸片,拼成一个平行四边形.有几种拼法？拼出的平行四边形都是菱形吗？如果不都是菱形,怎样拼才是菱形？请说明拼法,并画出示意图.解:三种拼法,其中□有2种,菱形有1种.

答案： 设有等腰三角形$ABC$，其中$AB=AC$，$\triangle ABC$与$\triangle DEF$全等。
拼法一：使$AB$与$DE$重合，$AC$与$DF$相邻，得到平行四边形。
此时，若$AB\neq AC$，则平行四边形不是菱形。
拼法二：使$AB$与$EF$重合，$AC$与$DE$相邻，得到平行四边形。
此时，若$AB\neq BC$（即等腰三角形三边不全相等），则平行四边形不是菱形。
拼法三：使等腰三角形的腰$AB$与另一三角形的腰$DE$相邻，即$AB$与$DE$为平行四边形的对边，$AC$与$DF$为另一组对边。
由于$AB=AC$，$DE=DF$，且$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，所以$AB=DE$，$AC=DF$。
因此，四边都相等，得到的平行四边形是菱形。
示意图：
[图1：等腰三角形$ABC$与等腰三角形$DEF$，$AB$与$DE$相邻，$AC$与$DF$相邻，构成菱形。]
（由于实际绘图无法在此展示，请自行想象或绘制：两个等腰三角形，腰与腰相接，底边平行且相等，构成菱形。）
答：共有3种拼法，其中2种拼成的是平行四边形（非菱形），1种拼成的是菱形。拼成菱形的方法是：使两个等腰三角形的腰分别作为平行四边形的相邻两边。

8. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于O,求证:AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=AB=DC=BC, ∠ADC=∠ABC, 在△ADC和△ABC中, AD=AB ∠ADC=∠ABC, DC=BC ∴△ADC≌△ABC(SAS), ∴AC平分∠BAD和∠BCD, 同理:△DAB≌△DCB,所以BD平分∠ABC和∠ADC.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=DC=BC，AD//BC，AB//DC，
∴∠DAC=∠BCA，∠BAC=∠DCA，
在△ADC和△ABC中，
AD=AB，
DC=BC，
AC=AC，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∴AC平分∠BAD和∠BCD，
同理，在△DAB和△DCB中，
AD=DC，
AB=BC，
BD=BD，
∴△DAB≌△DCB（SSS），
∴∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC和∠ADC.

已知△ABC为等边三角形,D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边作菱形ADEF(点A,D,E,F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:①BD=CF;②AC=CF+CD.解:(1)①关键证明△ABD≌△ACF(SAS) ②AC=BC=BD+DC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立？若不成立,请写出AC,CF,CD之间存在的数量关系,并说明理由.解:(2)延长AC到H,使CD=CH,连接BH. 关键证明△ABH≌△AGF(SAS) ∴CF=AH=BC+CD=AC+CD;
(3)如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,请补全图形,并直接写出AC,CF,CD之间存在的数量关系.解:(3)CD=AC+CF.

答案：
(1)①证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵四边形ADEF为菱形，∠DAF=60°，
∴AD=AF，∠DAF=60°．
∵∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，即∠BAD=∠CAF．
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠BAD=∠CAF\\ AD=AF\end{array}\right. $，
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴BD=CF．
②证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC．
∵点D在边BC上，
∴BC=BD+CD．
由①知BD=CF，
∴AC=BC=BD+CD=CF+CD．
(2)不成立，AC，CF，CD之间的数量关系为AC=CF-CD．
理由：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵四边形ADEF为菱形，∠DAF=60°，
∴AD=AF，∠DAF=60°．
∵∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF．
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠BAD=∠CAF\\ AD=AF\end{array}\right. $，
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴BD=CF．
∵点D在BC延长线上，
∴BD=BC+CD．
∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC，
∴BD=AC+CD，
∴CF=AC+CD，即AC=CF-CD．
(3)补全图形（如图所示，点D在CB延长线上，菱形ADEF按逆时针排列，连接CF）；
数量关系：CD=AC+CF．

1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

答案： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2. 菱形的性质
(1)菱形具有平行四边形的一切性质.
(2)菱形具有哪些特殊的性质呢？请你结合图形写一写.
取一张长方形纸片,按照下面的方法对折两次,并沿图c中的斜线(虚线)剪开,把剪下的①部分展开,平铺在桌面上.

(1)剪出的这个四边形一定是菱形吗?

答:是.
(2)剪出的这个四边形的边和对角线分别具有哪些性质?

答:4边相等,对角线垂直,对角线平分对角.

答案： 是.; 4边相等,对角线垂直,对角线平分对角.