《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 试用一张长方形的纸片(如图)折出一个正方形来.通过折纸,你认为具备什么条件的矩形是正方形?


答:有一组邻边相等的矩形.

答案： 1. 折纸步骤：将长方形纸片的短边与长边对齐折叠，使短边的一个端点落在长边上，此时重叠部分为一个正方形。
2. 结论：有一组邻边相等的矩形是正方形。

2. 你再想一想,具备什么条件的菱形是正方形?

答:有一个角为90°.

答案： 答：
1. 菱形有一个角为直角（或有一个内角为90°）；
2. 菱形的对角线相等。
（满足以上两个条件中的任意一个，菱形即为正方形）

3. 通过上述操作我们发现,正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意义：
(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形)；
(2)有一个角是直角的平行四边形(矩形).

正方形的定义:有一组邻边相等且有一个角是90°的平行四边形叫做正方形.
正方形具有平行四边形所有的性质，同时又具有菱形矩形所有的性质.

答案： 相等; 90°; 平行四边形所有; 菱形矩形所有

4.

答案： | | 边 | 角 | 对角线 | 对称性 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 菱形 | 4边相等 | 对角相等 | 平分且垂直 | 轴对称中心对称 |
| 矩形 | 对边相等 | 相等都为$90^{\circ}$ | 平分且相等 | 轴对称中心对称 |
| 正方形 | 4边相等 | 相等都为$90^{\circ}$ | 平分且相等、垂直 | 轴对称中心对称 |

例1 如图,点E在正方形ABCD的边BC的延长线上,点F在CD上,且CE=CF,那么BF与DE有怎样的数量关系？并说明理由.

解:BF=DE.
(∵△DCE≌△BCF)

答案： 解:BF=DE.
(∵△DCE≌△BCF)

例2 如图,E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点.若EC=AC,AE交CD于点F,求∠AFC的度数.

解:∠AFC=112.5°

答案： 解:∠AFC=112.5°

例3 如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点,GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足,连接AG,EF.
(1)写出AG,GF,GE长度之间的数量关系,并说明理由；
(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.

①AG²=GF²+GE²
②BG=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}$

答案： ①AG²=GF²+GE²
②BG=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}$

例4 如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形A₁B₁C₁O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.
(1)无论正方形A₁B₁C₁O绕点O怎样旋转,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的$\frac{1}{4}$.想一想,这是为什么？
(2)若AE=1,FC=2,求线段EF的长.

①作OH⊥AB,OI⊥BC.
则△OEH≌△OFI
②EF=$\sqrt{5}$

答案： ①作OH⊥AB,OI⊥BC.
则△OEH≌△OFI
②EF=$\sqrt{5}$