《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例3 如图,P为一次函数y=$\frac{1}{2}x+1$与反比例函数y=$\frac{m}{x}$(x＞0)的图象的交点,点P的纵坐标为4,PB⊥x轴,垂足为B；一次函数y=$\frac{1}{2}x+1$的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C.
(1)求m的值.
(2)M是反比例函数y=$\frac{m}{x}$(x＞0)图象上的一点,且在点P的右侧,连接PM.
①连接OP,OM,若S$_{\triangle POM}$=3S$_{四边形PBOC}$，求点M的坐标；
②过点M作MD⊥AP于点D,若∠PMD=45°,求点M的坐标.

解:(1)对于y=$\frac{1}{2}x+1$, 当y=4时,4=$\frac{1}{2}x+1$, 解得:x=6, ∴点P(6,4), 把点P(6,4)代入y=$\frac{m}{x}$(x＞0)得: 4=$\frac{m}{6}$, 解得:m=24； (2)①如图1,过点M作MN⊥x轴于点N, 对于y=$\frac{1}{2}x+1$, 当y=0时,x=-2,当x=0时,y=1, ∴点A(-2,0),B(0,1), ∴OA=2,OC=1, ∵PB⊥x轴,点P(6,4), ∴PB=4,OB=6, ∴S$_{四边形PBOC}$=$\frac{1}{2}$(OC+PB)×OB=$\frac{1}{2}$(1+4)×6=15, ∵S$_{\triangle POM}$=3S$_{四边形PBOC}$， ∴S$_{\triangle POM}$=45, 由(1)得:反比例函数解析式为y=$\frac{24}{x}$, 设点M的坐标为(a,$\frac{24}{a}$),则ON=a,MN=$\frac{24}{a}$, ∵S$_{\triangle POM}$+S$_{\triangle NOM}$=S$_{\triangle POB}$+S$_{梯形PBNM}$， ∴45+$\frac{1}{2}$×24=$\frac{1}{2}$×24+$\frac{1}{2}$(PB+MN)×BN, 即45=$\frac{1}{2}$(4+$\frac{24}{a}$)×(a-6), 解得:a=24或-$\frac{3}{2}$(舍去), ∴点M的坐标为(24,1)； ②如图2,过点P作GH⊥PB交BP延长线于点G,作MH⊥HG于点H, ∵MD⊥AP,∠PMD=45°, ∴△PMD是等腰直角三角形, ∴PD=DM, ∵∠PDG+∠MDH=90°,∠PDG+∠DPG=90°, ∴∠DPG=∠MDH, ∵∠G=∠H, ∴△PGD≌△DHM(AAS), ∴PG=DH,DG=MH, 设D(t,$\frac{1}{2}t+1$), ∴DG=t-6,PG=$\frac{1}{2}t-3$, ∴MH=t-6,DH=$\frac{1}{2}t-3$, ∴M($\frac{3}{2}t-3$,7-$\frac{1}{2}t$), ∵点M是反比例函数y=$\frac{24}{x}$的图象上的一点, ∴($\frac{3}{2}t-3$)×(7-$\frac{1}{2}t$)=24, 解得:t₁=6,t₂=10, ∵点M在点P的右侧, ∴点M的坐标为(12,2).

答案： 解:
(1)对于y=$\frac{1}{2}x+1$, 当y=4时,4=$\frac{1}{2}x+1$, 解得:x=6,
∴点P(6,4), 把点P(6,4)代入y=$\frac{m}{x}$(x＞0)得: 4=$\frac{m}{6}$, 解得:m=24；
(2)①如图1,过点M作MN⊥x轴于点N, 对于y=$\frac{1}{2}x+1$, 当y=0时,x=-2,当x=0时,y=1,
∴点A(-2,0),B(0,1),
∴OA=2,OC=1,
∵PB⊥x轴,点P(6,4),
∴PB=4,OB=6,
∴S$_{四边形PBOC}$=$\frac{1}{2}$(OC+PB)×OB=$\frac{1}{2}$(1+4)×6=15,
∵S$_{\triangle POM}$=3S$_{四边形PBOC}$，
∴S$_{\triangle POM}$=45, 由
(1)得:反比例函数解析式为y=$\frac{24}{x}$, 设点M的坐标为(a,$\frac{24}{a}$),则ON=a,MN=$\frac{24}{a}$,
∵S$_{\triangle POM}$+S$_{\triangle NOM}$=S$_{\triangle POB}$+S$_{梯形PBNM}$，
∴45+$\frac{1}{2}$×24=$\frac{1}{2}$×24+$\frac{1}{2}$(PB+MN)×BN, 即45=$\frac{1}{2}$(4+$\frac{24}{a}$)×(a-6), 解得:a=24或-$\frac{3}{2}$(舍去),
∴点M的坐标为(24,1)； ②如图2,过点P作GH⊥PB交BP延长线于点G,作MH⊥HG于点H,
∵MD⊥AP,∠PMD=45°,
∴△PMD是等腰直角三角形,
∴PD=DM,
∵∠PDG+∠MDH=90°,∠PDG+∠DPG=90°,
∴∠DPG=∠MDH,
∵∠G=∠H,
∴△PGD≌△DHM(AAS),
∴PG=DH,DG=MH, 设D(t,$\frac{1}{2}t+1$),
∴DG=t-6,PG=$\frac{1}{2}t-3$,
∴MH=t-6,DH=$\frac{1}{2}t-3$,
∴M($\frac{3}{2}t-3$,7-$\frac{1}{2}t$),
∵点M是反比例函数y=$\frac{24}{x}$的图象上的一点,
∴($\frac{3}{2}t-3$)×(7-$\frac{1}{2}t$)=24, 解得:t₁=6,t₂=10,
∵点M在点P的右侧,
∴点M的坐标为(12,2).

1.如图,在平面直角坐标系中,A是x轴正半轴上的一个定点,B是双曲线(x＞0)上的一个动点,当点B的横坐标逐渐增大时,△OAB的面积将会(C)

A.逐渐增大
B.不变
C.逐渐减小
D.先增大,后减小

答案： C