《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

3. 抛物线$y=ax^{2}+bx+c$上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值见下表.由表可知，下列说法正确的是①③④（填序号）.

x ... -2 -1 0 1 2 ...
y ... 0 4 6 6 4 ...
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；②函数$y=ax^{2}+bx+c$的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$；④在对称轴左侧，y随x的增大而增大.

答案： ①③④

4. 已知二次函数$y=-x^{2}+2x+m$的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程$-x^{2}+2x+m=0$的解为$x_{1}=-1;x_{2}=3$.

答案： $x_{1}=-1;x_{2}=3$

5. 如图，已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$经过$A(-1,0)$，$B(4,0)$，$C(0,2)$三点.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点E，使以A,B,E为顶点的三角形与$\triangle COB$相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，求$\angle BDA$的度数.
解：(1)$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2$
(2)E点坐标为(0,2)，(3,2)
(3)$45^{\circ}$

答案： 解：
(1)$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2$
(2)E点坐标为(0,2)，(3,2)
(3)$45^{\circ}$

6. 抛物线$y=-x^{2}+2(m+1)x+2m+3$与x轴交于A,B两点（A在y轴右侧，B在y轴左侧），且$OA:OB=3:1$，则m的值为$-\frac{4}{3}$.

答案： $-\frac{4}{3}$

7. 有7张正面分别标有数字-3,-2,-1,0,1,2,3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程$x^{2}-2(a-1)x+a(a-3)=0$有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数$y=x^{2}-(a^{2}+1)x-a+2$的图象不经过点(1,0)的概率是$\frac{3}{7}$.

答案： $\frac{3}{7}$

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C：$y=ax^{2}+bx+c$与x轴相交于A,B两点，顶点为$D(0,4)$，$AB=4\sqrt{2}$.设$F(m,0)$是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转$180^{\circ}$，得到新的抛物线$C'$.
(1)求抛物线C的函数表达式.
(2)若抛物线$C'$与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围.
(3)如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线$C'$上的对应点为$P'$.设M是C上的动点，N是$C'$上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由.
解：(1)$y=-\frac{1}{2}x^{2}+4$
(2)$C'y=\frac{1}{2}(x-2m)^{2}-4$
$\begin{cases}y \\ y' \end{cases}\Delta=0\Rightarrow m=\pm2\sqrt{2}$
∴$m＜2\sqrt{2}$
当D过$C'$时$m=\pm2$
∴$2＜m＜2\sqrt{2}$

答案： 解：
(1)$y=-\frac{1}{2}x^{2}+4$
(2)$C'y=\frac{1}{2}(x-2m)^{2}-4$
$\begin{cases}y \\ y' \end{cases}\Delta=0\Rightarrow m=\pm2\sqrt{2}$
∴$m＜2\sqrt{2}$
当D过$C'$时$m=\pm2$
∴$2＜m＜2\sqrt{2}$