《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

解：(1)Δ=9 + 32 ＞ 0 有2个不等实根 (2)16y² - 24y + 9 = 0 Δ=24² - 4×9×16 = 0 有两个相等实根 (3)5x² - 7x + 5 = 0 Δ=49 - 100 ＜ 0 无实根

答案：
(1)Δ=9 + 32 ＞ 0 有2个不等实根
(2)16y² - 24y + 9 = 0 Δ=24² - 4×9×16 = 0 有两个相等实根
(3)5x² - 7x + 5 = 0 Δ=49 - 100 ＜ 0 无实根

例2 解方程：
(1)x² + 12x + 27 = 0；$(2)x² - 2\sqrt{7}x + 7 = 0；$(3)2x(x - 3) + x = 3；(4)6x(x - 2) = (2 - x)(x + 3)；(5)(x - 5)² = 2(x - 5) - 1.

答案：
(1)
解：
$x^{2}+12x + 27=0$
因式分解得$(x + 3)(x + 9)=0$
则$x+3 = 0$或$x + 9=0$
解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=-9$
(2)
解：
$x^{2}-2\sqrt{7}x + 7 = 0$
由完全平方公式可得$(x-\sqrt{7})^{2}=0$
解得$x_{1}=x_{2}=\sqrt{7}$
(3)
解：
$2x(x - 3)+x = 3$
移项得$2x(x - 3)+x-3 = 0$
因式分解得$(x - 3)(2x + 1)=0$
则$x-3 = 0$或$2x+1 = 0$
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$
(4)
解：
$6x(x - 2)=(2 - x)(x + 3)$
移项得$6x(x - 2)+(x - 2)(x + 3)=0$
因式分解得$(x - 2)(6x+x + 3)=0$
即$(x - 2)(7x + 3)=0$
则$x-2 = 0$或$7x+3 = 0$
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-\frac{3}{7}$
(5)
解：
$(x - 5)^{2}=2(x - 5)-1$
移项得$(x - 5)^{2}-2(x - 5)+1 = 0$
由完全平方公式可得$(x - 5 - 1)^{2}=0$
即$(x - 6)^{2}=0$
解得$x_{1}=x_{2}=6$

解：$$(1)x₁=-3,x₂=-9 (2)x₁=x₂=\sqrt{7} (3)x₁=3,x₂=0.5 (4)x₁=2,x₂=-\frac{3}{7} (5)(x - 5)² - 2(x - 5) + 1 = 0 (x - 5 - 1)² = 0 x₁=x₁=6$$

答案： $(1)x₁=-3,x₂=-9 (2)x₁=x₂=\sqrt{7} (3)x₁=3,x₂=0.5 (4)x₁=2,x₂=-\frac{3}{7} (5)(x - 5)² - 2(x - 5) + 1 = 0 (x - 5 - 1)² = 0 x₁=x₁=6$

例3 已知关于x的方程(m - 2)x² - 2(m - 1)x + m + 1 = 0，求m为何值(非负整数)时：
(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不相等的实数根.

答案：
(1)
当$m - 2 = 0$，即$m = 2$时，
原方程为$-2x + 3 = 0$（代入$m=2$，得到$ (2 - 2)x^2 - 2(2 - 1)x + 2 + 1 = 0$化简得到），
这是一个一元一次方程，只有一个实数根$x = \frac{3}{2}$，
所以当$m = 2$时，方程只有一个实数根。
(2)
当$m - 2 \neq 0$，即$m \neq 2$时，
原方程为一元二次方程，
根据题意，判别式$\Delta = 0$，
即$\Delta = \lbrack - 2(m - 1)\rbrack^{2} - 4(m - 2)(m + 1) = 0$，
化简得：
$4(m-1)^2 - 4(m-2)(m+1) = 0$
$4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 4m + 8 = 0$
$-4m + 12 = 0$
$m = 3$
此时方程有两个相等的实数根，
所以当$m = 3$时，方程有两个相等的实数根。
(3)
当$m - 2 \neq 0$，即$m \neq 2$时，
原方程为一元二次方程，
根据题意，判别式$\Delta ＞ 0$，
即$\Delta = \lbrack - 2(m - 1)\rbrack^{2} - 4(m - 2)(m + 1) ＞ 0$，
化简得：
$4(m-1)^2 - 4(m-2)(m+1) ＞ 0$
$4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 4m + 8 ＞ 0$
$-4m + 12 ＞ 0$
$m ＜ 3$
由于$m$为非负整数，且$m \neq 2$，
所以$m$的取值为$0$，$1$，
所以当$m = 0$或$1$时，方程有两个不相等的实数根。

解：(1)∵方程只有一个实数根，∴m - 2 = 0，解得:m=2. (2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=4(m - 1)² - 4(m - 2)(m + 1)=0 解得:m=3； (3)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=4(m - 1)² - 4(m - 2)(m + 1) ＞ 0 解得:m ＜ 3，∵m为非负整数,且m≠2，∴m=0或1；

答案：
(1)
∵方程只有一个实数根，
∴m - 2 = 0，解得:m=2.
(2)
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=4(m - 1)² - 4(m - 2)(m + 1)=0 解得:m=3；
(3)
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=4(m - 1)² - 4(m - 2)(m + 1) ＞ 0 解得:m ＜ 3，
∵m为非负整数,且m≠2，
∴m=0或1；

变式 当m取何值时，关于x的方程$x² + (m - 2)x + \frac{1}{4}m² - 1 = 0$：
(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？

答案： 答题卡：
(1) 方程有两个不相等的实数根，需满足：
$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中，$a = 1, b = m - 2, c = \frac{1}{4}m^2 - 1$。
代入得：
$\Delta = (m - 2)^2 - 4×(1)×(\frac{1}{4}m^2 - 1)$
$= m^2 - 4m + 4 - m^2 + 4$
$= -4m + 8$
要求 $\Delta ＞ 0$，即：
$-4m + 8 ＞ 0$
解得：
$m ＜ 2$
(2) 方程有两个相等的实数根，需满足：
$\Delta = 0$，
由
(1)中已知 $\Delta = -4m + 8$，
要求 $\Delta = 0$，即：
$-4m + 8 = 0$
解得：
$m = 2$
(3) 方程没有实数根，需满足：
$\Delta ＜ 0$，
由
(1)中已知 $\Delta = -4m + 8$，
要求 $\Delta ＜ 0$，即：
$-4m + 8 ＜ 0$
解得：
$m ＞ 2$

解：(1)m ＜ 2 (2)m=2 (3)m ＞ 2

答案：
(1)m ＜ 2
(2)m=2
(3)m ＞ 2

例4 已知关于x的方程x² - (k + 2)x + 2k = 0.
(1)试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根；(2)若等腰△ABC的一边长a为1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长.

答案：
(1)见上述证明；
(2)5

解：(1)证明:∵Δ=b² - 4ac=(k + 2)² - 8k=(k - 2)²≥0，∴无论k取任意实数值,方程总有实数根； (2)分两种情况:①若b=c，∵方程x² - (k + 2)x + 2k=0有两个相等的实数根，∴Δ=b² - 4ac=(k - 2)²=0,解得k=2，∴此时方程为x² - 4x + 4=0,解得x₁=x₂=2，∴△ABC的周长为5；②若b≠c,则b=a=1或c=a=1,即方程有一根为1，∵把x=1代入方程x² - (k + 2)x + 2k=0,得1 - (k + 2) + 2k=0，解得k=1，∴此时方程为x² - 3x + 2=0，解得x₁=1,x₂=2，∴方程另一根为2，∵1、1、2不能构成三角形，∴所求△ABC的周长为5. 综上所述,△ABC的周长为5.

答案：
(1)证明:
∵Δ=b² - 4ac=(k + 2)² - 8k=(k - 2)²≥0，
∴无论k取任意实数值,方程总有实数根；
(2)分两种情况:①若b=c，
∵方程x² - (k + 2)x + 2k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b² - 4ac=(k - 2)²=0,解得k=2，
∴此时方程为x² - 4x + 4=0,解得x₁=x₂=2，
∴△ABC的周长为5；②若b≠c,则b=a=1或c=a=1,即方程有一根为1，
∵把x=1代入方程x² - (k + 2)x + 2k=0,得1 - (k + 2) + 2k=0，解得k=1，
∴此时方程为x² - 3x + 2=0，解得x₁=1,x₂=2，
∴方程另一根为2，
∵1、1、2不能构成三角形，
∴所求△ABC的周长为5. 综上所述,△ABC的周长为5.

1. 不解方程，判断下列方程根的情况.
①x² + 3x - 1 = 0；②x² - 6x + 10 = 0；$③x² + 5 = 2\sqrt{5}x；$④mx² - 5x - m = 0(m ≠ 0).

答案： ①$x^{2}+3x - 1 = 0$，
这里$a = 1$，$b = 3$，$c=-1$，
$\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4×1×(-1)=9 + 4=13\gt0$，
所以方程有两个不相等的实数根。
②$x^{2}-6x + 10 = 0$，
这里$a = 1$，$b=-6$，$c = 10$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×10=36 - 40=-4\lt0$，
所以方程没有实数根。
③由$x^{2}+5 = 2\sqrt{5}x$，移项得$x^{2}-2\sqrt{5}x + 5 = 0$，
这里$a = 1$，$b=-2\sqrt{5}$，$c = 5$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{5})^{2}-4×1×5=20 - 20=0$，
所以方程有两个相等的实数根。
④$mx^{2}-5x - m = 0(m\neq0)$，
这里$a = m$，$b=-5$，$c=-m$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4× m×(-m)=25 + 4m^{2}\gt0$，
所以方程有两个不相等的实数根。
综上，答案依次为：①有两个不相等的实数根；②没有实数根；③有两个相等的实数根；④有两个不相等的实数根。

解：①2个不等 ②无 ③2个等 ④2个不等

答案： ①2个不等 ②无 ③2个等 ④2个不等

2. 如果关于x的方程2x² - (4k + 1)x + 2k² - 1 = 0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是$$k ＞ -\frac{9}{8}$.$

答案： $k ＞ -\frac{9}{8}$

3. 已知关于x的一元二次方程mx² - 2x + 1 = 0有两个相等的实数根，则m =1.

答案： 1

4. 如果m为任意实数，那么一元二次方程$x² - mx + \frac{1}{2}m² + m + \frac{3}{2} = 0$的解的情况是无实根.

答案： 无实根