《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

7.已知二次函数$y=ax^2+2x+c(a≠0)$有最大值,且ac=4,则二次函数图象的顶点在第几象限？
解:顶点在第四象限

答案： 解:顶点在第四象限

如图,A(-1,0),B(2,-3)两点在一次函数$y_2=-x+m$与二次函数$y_1=ax^2+bx-3$的图象上.
(1)求m的值和二次函数的解析式；
解:(1)把A(-1,0)代入$y_2=-x+m$得1+m=0,解得m=-1；
把A(-1,0)、B(2,-3)代入$y_1=ax^2+bx-3$得
$\begin{cases}a - b - 3 = 0 \\ 4a + 2b - 3 = -3\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = -2\end{cases}$,
所以二次函数解析式为$y_1=x^2-2x-3$；
(2)请直接写出使$y_2＞y_1$时,自变量x的取值范围；
解:(2)当-1＜x＜2时,$y_2＞y_1$；
(3)所求的抛物线$y_1=ax^2+bx-3$关于y轴对称的抛物线的解析式为.
解:(3)$y_1=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,则抛物线$y_1=ax^2+bx-3$的顶点坐标为(1,-4),
点(1,-4)关于y轴对称的点的坐标为(-1,-4),
所以抛物线$y_1=ax^2+bx-3$关于y轴对称的抛物线的解析式为$y=(x+1)^2-4$.
故答案为-1＜x＜2;$y=(x+1)^2-4$.

答案： 解:
(1)把A(-1,0)代入$y_2=-x+m$得1+m=0,解得m=-1；
把A(-1,0)、B(2,-3)代入$y_1=ax^2+bx-3$得
$\begin{cases}a - b - 3 = 0 \\ 4a + 2b - 3 = -3\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = -2\end{cases}$,
所以二次函数解析式为$y_1=x^2-2x-3$；; 解:
(2)当-1＜x＜2时,$y_2＞y_1$；; 解:
(3)$y_1=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,则抛物线$y_1=ax^2+bx-3$的顶点坐标为(1,-4),
点(1,-4)关于y轴对称的点的坐标为(-1,-4),
所以抛物线$y_1=ax^2+bx-3$关于y轴对称的抛物线的解析式为$y=(x+1)^2-4$.
故答案为-1＜x＜2;$y=(x+1)^2-4$.

1. 已知二次函数y=4x² - mx + 2,当x ＜ -2时,y随x的增大而减小;当x ＞ -2时,y随x的增大而增大.则当x=1时,y的值为22.
点拨精讲:可根据顶点公式,用含m的代数式表示对称轴,从而求出m的值.

答案： 22

2. 抛物线y=-x²+6x+2的顶点坐标是(3,11).

答案： (3,11)

3. 抛物线y=x² - 2x - 3与x轴的交点坐标是(3,0),对称轴为x=1.

答案： (3,0); x=1

1. 抛物线y=x² - 2x - 3也可写为y=(x - 3)(x + 1),称为交点式.一般地,当抛物线与x轴有两交点时,可写成y=a(x - x₁)(x - x₂),其中x₁,x₂是抛物线与x轴交点的横坐标.

答案： 答题：
已知抛物线交点式 $y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1, x_2$ 是抛物线与 $x$ 轴交点的横坐标。
对于抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$，可分解为 $y = (x - 3)(x + 1)$。
抛物线与 $x$ 轴交点的横坐标 $x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
抛物线的顶点坐标可通过 $-\frac{b}{2a}$ 计算 $x$ 坐标，$y$ 坐标代入原式求得（本题未要求，无需具体计算）。
最终结论：
抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$ 的交点式为 $y = (x - 3)(x + 1)$，与 $x$ 轴交点横坐标为 $3$ 和 $-1$。

2. 若抛物线上有两点A(2,4),B(6,4),则该抛物线的对称轴为x=4.

答案： x=4

3. 若抛物线的对称轴为直线x=-1,则与抛物线上的点A(3,6)关于对称轴对称的点B的坐标为(-5,6).

答案： (-5,6)

4. 已知二次函数的图象经过点(0,5),(1,0),(2,-3),求这个二次函数的表达式.解:y=x² - 6x + 5

答案： y=x² - 6x + 5