《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

3. 用几何语言表述矩形的所有性质.
性质1:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
性质2:AC=BD.

答案： ∠A=∠B=∠C=∠D=90°; AC=BD

4. 矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,那么 BO 是 Rt△ABC 中一条怎样的特殊线段？它与 AC 有怎样的大小关系？由此你能得到怎样的结论？
定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图,在 Rt△ABC 中,O 是斜边 AC 的中点,求证:OB=$\frac{1}{2}$AC.

答案： 一半

例1 如图,在矩形 ABCD 中,两条对角线相交于点 O,∠AOD=120°,AB=2.5.求这个矩形对角线的长.解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AC=BD,OA=$\frac{1}{2}$AC,OB=$\frac{1}{2}$BD,∴OA=OB,∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°-∠AOD=60°,∴△AOB 是等边三角形,∴OA=OB=AB=2.5,∴AC=BD=5,即矩形对角线长为 5.

答案：
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AC=BD,OA=$\frac{1}{2}$AC,OB=$\frac{1}{2}$BD,
∴OA=OB,
∵∠AOD=120°,
∴∠AOB=180°-∠AOD=60°,
∴△AOB 是等边三角形,
∴OA=OB=AB=2.5,
∴AC=BD=5,即矩形对角线长为 5.

例2 如图,将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使点 C 落在点 C'处,BC'交 AD 于点 E,AD=8,AB=4.求△BDE 的面积.解$:$S_{△BDE}=10$$

答案： $S_{△BDE}=10$

例3 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,AE 平分∠BAD 且∠CAE=15°.求∠DOE 的度数.解:∠DOE=75°

答案： ∠DOE=75°

例4 如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E 在线段 CB 的延长线上,连接 DE 交 AB 于点 F,∠AED=2∠CED,G 是 DF 的中点.若 BE=1,AG=4,求 AB 的长.解:AB=$\sqrt{15}$

答案： AB=$\sqrt{15}$

1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（D）

A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等

答案： D

2. 矩形的两条对角线的夹角为 60°,较短的边长为 4.5 厘米,则对角线长为9厘米.

答案： 9

3. 如图,在矩形 ABCD 中,DE⊥CE,∠ADE=30°,DE=4.求这个矩形的周长.解:C=16+4$\sqrt{3}$

答案： C=16+4$\sqrt{3}$