《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例3 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC和∠ABC的角平分线交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.四边形CFDE是什么特殊四边形?证明你的结论.

证：正方形

答案： 正方形

例4 如图,在△AOC中,OA=OC,点B是AO延长线上一点,OD平分∠AOC交AC于点D,OM平分∠COB,CF⊥OM于点F.
(1)求证:四边形CDOF是矩形.
(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.

证：(1)略 (2)90°

答案：
(1)略
(2)90°

1. 下列说法是否正确?并说明理由.
(1)对角线相等的菱形是正方形；(√)
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形；(√)
(3)对角线垂直且相等的四边形是正方形；(×)
(4)四条边都相等的四边形是正方形；(×)
(5)四个角相等的四边形是正方形.(×)

答案： √; √; ×; ×; ×

2. 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°,请你再添加一个条件,使该四边形是正方形,你所添加的条件是AB=BC.

答案： AB=BC

3. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相垂直平分,若使四边形ABCD是正方形,则需要再添加的一个条件为BD=CA.(图形中不再添加辅助线,写出一个条件即可)

答案： BD=CA

4. 已知□ABCD,对角线AC,BD相交于点O.
(1)若AB=BC,则□ABCD是菱形；
(2)若AC=BD,则□ABCD是矩形；
(3)若∠BCD=90°,则□ABCD是矩形；
(4)若OA=OB,且OA⊥OB,则□ABCD是正方形；
(5)若AB=BC,且AC=BD,则□ABCD是正方形.

答案： 菱形; 矩形; 矩形; 正方形; 正方形

5. 任意画一个四边形,以它四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.
(1)任意画一个正方形,以它四边的中点为顶点可以组成正方形；
(2)任意画一个菱形,以它四边的中点为顶点可以组成矩形；
(3)任意画一个矩形,以它四边的中点为顶点可以组成菱形；
(4)任意画一个平行四边形,以它四边的中点为顶点可以组成平行四边形.

答案： 正方形; 矩形; 菱形; 平行四边形

6. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,点F在DE的延长线上,且AF=CE.
(1)四边形ACEF是平行四边形吗?并说明理由.
(2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF为菱形?证明你的结论.
(3)四边形ACEF有可能是正方形吗?为什么?

答：(1)是.证AF//CE (2)∠B=30°.证AC=CE (3)不存在.∠ACE＜90°

答案：
(1)是.证AF//CE
(2)∠B=30°.证AC=CE
(3)不存在.∠ACE＜90°