《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例4 如图,在 △ABC 中,AB = AC,BD⊥AC 于点 D,BE平分 ∠ABD 交 AC 于点 E, sinA = $\frac{3}{5}$,BC = 2$\sqrt{10}$.求 AC 的长及 AE 的长.解:AC=10

答案： 解:AC=10

1. 若α为锐角,且 tan(α + 10°) = $\frac{\sqrt{3}}{3}$,则α=20°.

答案： 20°

2. 已知锐角 A, 满足 cosA = 0.6, 则sinA =0.8,tanA =$\frac{4}{3}$.

答案： 0.8; $\frac{4}{3}$

3. 如图,在 Rt△ABC中,∠C = 90°,tanB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,BC = 2$\sqrt{3}$,则 AC = (A)

A.3
B.4
C.43
D.6

答案： A

4. 如图,根据图中已知数据,求△ABC 其余各边的长、各角的度数和△ABC 的面积.解:AB=4,AC=4$\sqrt{2}$,BC=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$ S△ABC=4 + 4$\sqrt{3}$

答案： 解:AB=4,AC=4$\sqrt{2}$,BC=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$ S△ABC=4 + 4$\sqrt{3}$

5. 如图,在 Rt△ABD 中,∠D = 90°,∠ABD = 30°,∠ACD = 45°,BC = 4 cm. 求△ABC 其余各边的长、各角的度数和△ABC 的面积.解:AB=4 + 4$\sqrt{3}$ AD=2$\sqrt{3}$+2 AC=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$ S△ABC=4$\sqrt{3}$+4 ∠BAC=15°,∠BCA=135°

答案： 解:AB=4 + 4$\sqrt{3}$ AD=2$\sqrt{3}$+2 AC=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$ S△ABC=4$\sqrt{3}$+4 ∠BAC=15°,∠BCA=135°

我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(记作 sad). 如图 1,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作 sadA,这时 sadA = $\frac{底边}{腰}$ = $\frac{BC}{AB}$.容易知道,一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题：
（1）sad60°=∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，∴sad60°=底边/腰=1/2=1.故答案为:1.
（2）如图 2,在 △ABC 中,CB = CA,若 sadC = $\frac{6}{5}$,求 tanB 的值；如图②所示:作 CD⊥BA 于点 D,∵△ABC 中,CB=CA,sadC=$\frac{6}{5}$,sadC=$\frac{AB}{BC}$,∴AB=$\frac{6}{5}$BC,BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{5}$BC.∵CD=$\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}$=$\sqrt{BC^{2}-(\frac{3}{5}BC)^{2}}$=$\frac{4}{5}$BC.∴tanB=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{\frac{4}{5}BC}{\frac{3}{5}BC}$=$\frac{4}{3}$.即 tanB=$\frac{4}{3}$.
（3）如图 3,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,若 sinA = $\frac{4}{5}$,试求 sadA 的值.设 AB=5a,BC=4a,则 AC=3a.如图③所示,在 AB 上截取 AD=AC=3a,作 DE⊥AC 于点 E,∵Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA=$\frac{4}{5}$,∴DE=AD·sinA=3a×$\frac{4}{5}$=$\frac{12a}{5}$,AE=AD·cosA=3a×$\frac{3}{5}$=$\frac{9a}{5}$.∴CE=AC - AE=3a - $\frac{9a}{5}$=$\frac{6a}{5}$.∴CD=$\sqrt{CE^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{(\frac{6a}{5})^{2}+(\frac{12a}{5})^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}a}{5}$.∴sadA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\frac{6\sqrt{5}a}{5}}{3a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.即 sadA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

答案：
∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，
∴sad60°=底边/腰=1/2=1.故答案为:1.; 如图②所示:作 CD⊥BA 于点 D,
∵△ABC 中,CB=CA,sadC=$\frac{6}{5}$,sadC=$\frac{AB}{BC}$,
∴AB=$\frac{6}{5}$BC,BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{5}$BC.
∵CD=$\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}$=$\sqrt{BC^{2}-(\frac{3}{5}BC)^{2}}$=$\frac{4}{5}$BC.
∴tanB=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{\frac{4}{5}BC}{\frac{3}{5}BC}$=$\frac{4}{3}$.即 tanB=$\frac{4}{3}$.; 设 AB=5a,BC=4a,则 AC=3a.如图③所示,在 AB 上截取 AD=AC=3a,作 DE⊥AC 于点 E,
∵Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA=$\frac{4}{5}$,
∴DE=AD·sinA=3a×$\frac{4}{5}$=$\frac{12a}{5}$,AE=AD·cosA=3a×$\frac{3}{5}$=$\frac{9a}{5}$.
∴CE=AC - AE=3a - $\frac{9a}{5}$=$\frac{6a}{5}$.
∴CD=$\sqrt{CE^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{(\frac{6a}{5})^{2}+(\frac{12a}{5})^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}a}{5}$.
∴sadA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\frac{6\sqrt{5}a}{5}}{3a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.即 sadA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.