《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例1 填表:

函数 图象(草图) 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴两侧的增减性
$y=\frac{1}{2}x^2$ 向上 $(0,0)$ $y$轴 最小值为0 $x＜0$ $x↑y↓$ $x＞0$ $x↑y↑$
$y=-5x^2+3$ 向下 $(0,3)$ $y$轴 最大值为3 $x＜0$ $x↑y↑$ $x＞0$ $x↑y↓$
$y=-5(x+3)^2$ 下 $(-3,0)$ 直线$x=-3$ 最大值为0 $x＜-3$ $x↑y↑$ $x＞-3$ $x↑y↓$
$y=3(x-3)^2$ 上 $(3,0)$ 直线$x=3$ 最小值为0 $x＜3$ $x↑y↓$ $x＞3$ $x↑y↑$

答案： 向上; $(0,0)$; $y$轴; 最小值为0; $x＜0$ $x↑y↓$ $x＞0$ $x↑y↑$; 向下; $(0,3)$; $y$轴; 最大值为3; $x＜0$ $x↑y↑$ $x＞0$ $x↑y↓$; 下; $(-3,0)$; 直线$x=-3$; 最大值为0; $x＜-3$ $x↑y↑$ $x＞-3$ $x↑y↓$; 上; $(3,0)$; 直线$x=3$; 最小值为0; $x＜3$ $x↑y↓$ $x＞3$ $x↑y↑$

例2 把抛物线$y=3x^2$向右平移4个单位后,得到抛物线的解析式为$y=3(x-4)^2$;把抛物线$y=3x^2$向左平移6个单位后,得到的抛物线的解析式为$y=3(x+6)^2$.
将抛物线$y=-3(x-1)^2$向左平移3个单位后,得到抛物线$y=-3(x+2)^2$.

答案： $y=3(x-4)^2$; $y=3(x+6)^2$; 左; 3

例3 已知抛物线顶点在$x$轴上,且过点$(1,-2)$,$(3,0)$.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点$A(m,n)$,$B(p,q)$($m＜p＜3$)在该抛物线上,比较$n,q$的大小.
解:(1)$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2$
(2)$n＜q＜0$
A组

答案： 解:
(1)$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2$
(2)$n＜q＜0$

1. 抛物线$y=2(x+3)^2$的开口向上,顶点坐标为$(-3,0)$,对称轴是直线$x=-3$.当$x$$＜-3$时,$y$随$x$的增大而减小;当$x$$\geq-3$时,$y$随$x$的增大而增大.

答案： 向上; $(-3,0)$; $x=-3$; $＜-3$; $\geq-3$

2. 将抛物线$y=-\frac{1}{3}(x-2)^2$向右平移1个单位后,得到抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-3)^2$.

答案： $y=-\frac{1}{3}(x-3)^2$

3. 抛物线$y=4(x-2)^2$与$y$轴的交点坐标是$(0,16)$,与$x$轴的交点坐标是$(2,0)$.

答案： $(0,16)$; $(2,0)$

4. 若抛物线$y=m(x+1)^2$过点$(1,-4)$,则$m=$$-1$.

答案： $-1$

5. 写出顶点是$(5,0)$,形状、开口方向与抛物线$y=-2x^2$都相同的抛物线的解析式：$y=-2(x-5)^2$.

答案： $y=-2(x-5)^2$

6. 若把抛物线$y=m(x+n)^2$向左平移2个单位后,得到抛物线的解析式为$y=-4(x-4)^2$,则$m=$$-4$,$n=$$-6$.

答案： $-4$; $-6$

7. 已知直线$y=x+1$与$x$轴交于点$A$,抛物线$y=-2x^2$平移后的顶点与点$A$重合.
(1)求平移后的抛物线的解析式；
(2)若点$B(x_1,y_1)$,$C(x_2,y_2)$在平移后的抛物线上,且$-\frac{1}{2}＜x_1＜x_2$,试比较$y_1,y_2$的大小.
解:(1)$A(-1,0)$ $y=-2(x+1)^2$
(2)$y_1＞y_2$

答案： 解:
(1)$A(-1,0)$ $y=-2(x+1)^2$
(2)$y_1＞y_2$

如图,平行于$x$轴的直线$AC$分别交函数$y_1=x^2(x\geq0)$与$y_2=\frac{x^2}{3}(x\geq0)$的图象于$B$,$C$两点,过点$C$作$y$轴的平行线交$y_1$的图象于点$D$,直线$DE// AC$,交$y_2$的图象于点$E$,则$\frac{DE}{AB}=$$3-\sqrt{3}$.

答案： $3-\sqrt{3}$