《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

阅读教材第 48～49 页的相关内容.
服装厂生产某品牌 T 恤衫的成本是每件10 元.根据市场调查得知,以单价 13 元批发给经销商,经销商愿意经销 5000 件,并且表示若单价每降低 0.1 元,愿意多经销 500 件.
设批发价下降 0.1x 元($0\leqslant x＜30$),那么:
批发价为 （13 - 0.1x）元；
销售量为 （5000 + 500x）件；
销售额为 （5000 + 500x）（13 - 0.1x）元；
所获利润为 （5000 + 500x）（13 - 0.1x - 10）元.

答案： （13 - 0.1x）; （5000 + 500x）; （5000 + 500x）（13 - 0.1x）; （5000 + 500x）（13 - 0.1x - 10）

请你帮助分析,批发单价是多少时厂家获利最多?
设服装厂获利 y 元,则 y = (5000 + 500x)(13 - 0.1x - 10) = -50$x^2$ + 1000x + 15000 当 x = 10,即批发价是 12 元时,所获利润最大,最大利润为 20000 元.

答案： 解：设服装厂获利$ y $元，由题意得
$ y=(5000 + 500x)(13 - 0.1x - 10) $
化简得$ y=-50x^2 + 1000x + 15000 $
$ \because a=-50＜0 $，抛物线开口向下，
$ \therefore $当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1000}{2×(-50)}=10 $时，$ y $有最大值。
此时批发单价为$ 13 - 0.1x=13 - 0.1×10=12 $元，
最大利润为$ y=-50×10^2 + 1000×10 + 15000=20000 $元。
答：批发单价是12元时厂家获利最多，最大利润为20000元。

例1 某旅馆有客房 120 间,每间房的房价为 160 元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的房价增加 10 元,那么客房每天的出租数会减少 6 间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的房价提高到多少元时,每天客房的总收入最高?最高总收入是多少?

答案： 设每间客房的房价提高$x$个10元，则提高后的房价为$(160 + 10x)$元，每天出租的客房数为$(120 - 6x)$间，其中$0 \leq x \leq 20$（$x$为整数）。
每天客房的总收入$y$为：
$y=(160 + 10x)(120 - 6x)$
展开并整理得：
$y=-60x^{2}+240x + 19200$
此二次函数中，$a=-60$，$b=240$，$c=19200$。
因为$a=-60＜0$，函数图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$有最大值。
计算$x$：
$x=-\frac{240}{2×(-60)}=2$
此时房价为：
$160 + 10x=160 + 10×2=180$（元）
最高总收入为：
$y=-60×2^{2}+240×2 + 19200=19440$（元）
答：旅馆将每间客房的房价提高到180元时，每天客房的总收入最高，最高总收入是19440元。

解:设每间客房的房价提高 10x 元,则每天客房出租数会减少 6x 间. 设客房房价总收入为 y 元,则 y = (160 + 10x)(120 - 6x) = -60(x - 2)^2 + 19440. ∵x ≥ 0,且 120 - 6x ＞ 0, ∴0 ≤ x ＜ 20. 当 x = 2 时,$y_{最大}$ = 19440. 这时每间客房的房价为 160 + 10×2 = 180(元), 因此,每间客房的房价提高到 180 元时,客房总收入最高,最高收入为 19440 元.

答案： 设每间客房的房价提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间。设客房房价总收入为y元，
y=(160+10x)(120-6x)
=160×120 - 160×6x + 10x×120 - 10x×6x
=19200 - 960x + 1200x - 60x²
=-60x² + 240x + 19200
=-60(x² - 4x) + 19200
=-60(x² - 4x + 4 - 4) + 19200
=-60[(x - 2)² - 4] + 19200
=-60(x - 2)² + 240 + 19200
=-60(x - 2)² + 19440
∵x≥0，且120 - 6x＞0，即x＜20，
∴0≤x＜20。
当x=2时，y最大=19440。
此时每间客房房价为160 + 10×2=180元。
答：每间客房的房价提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元。

例2 某服装公司试销一种成本为每件50 元的 T 恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不高于每件 70 元,试销中销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)的关系可以近似地看做一次函数(如图). (1)求 y 与 x 之间的函数表达式. (2)设公司获得的总利润为 P 元(总利润 = 总销售额 - 总成本),求 P 与 x 之间的函数表达式,并写出自变量 x 的取值范围. (3)根据题意判断:当 x 取何值时,P 的值最大?最大值是多少?

答案：
(1)设$y$与$x$的函数关系式为$y = kx + b$。
由图象知，当$x = 60$时，$y = 400$；当$x = 70$时，$y = 300$，代入函数关系式得：
$\{\begin{array}{l}400 = 60k + b \\300 = 70k + b\end{array}$
两式相减得：
$100 = -10k$
解得：
$k = -10$
将$k = -10$代入$400 = 60k + b$得：
$400 = 60×(-10) + b$
$400 = -600 + b$
$b = 1000$
所以函数关系式为$y = -10x + 1000$。
(2)由题意总利润$P=$（单件利润$×$销售量），单件利润为$(x - 50)$元，销售量为$y = -10x + 1000$件，所以：
$P=(x - 50)(-10x + 1000)$
$P=-10x^{2}+1000x + 500x-50000$
$P=-10x^{2}+1500x - 50000$
因为销售单价不低于成本价，又不高于每件$70$元，成本为$50$元/件，所以自变量$x$的取值范围是$50\leqslant x\leqslant70$。
(3)对于二次函数$P = -10x^{2}+1500x - 50000$，其中$a=-10$，$b = 1500$，$c=-50000$，根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可得：
$x=-\frac{1500}{2×(-10)} = 75$
因为$a=-10\lt0$，所以二次函数图象开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大。
又因为$50\leqslant x\leqslant70$，所以当$x = 70$时，$P$有最大值。
把$x = 70$代入$P=-10x^{2}+1500x - 50000$得：
$P=-10×70^{2}+1500×70 - 50000$
$P=-49000 + 105000-50000$
$P = 6000$
综上：
(1)$y$与$x$之间的函数表达式为$y = -10x + 1000$。
(2)$P$与$x$之间的函数表达式为$P=-10x^{2}+1500x - 50000(50\leqslant x\leqslant70)$。
(3)当$x = 70$时，$P$的值最大，最大值是$6000$元。

解：（1）y = -10x + 1000 （2）P = (-10x + 1000)(x - 50) = -10$x^2$ + 1500x - 50000($50\leqslant x\leqslant70$) （3）当 x = -$\frac{b}{2a}$ = 75 ∵$50\leqslant x\leqslant70$ ∴当 x = 70 时 P 最大值 = 6000

答案： （1）设该函数表达式为$y=kx+b$，
将点$(60,400)$和$(70,300)$代入，
得$\begin{cases}400=60k+b,\\300=70k+b.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10,\\b=1000.\end{cases}$
所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-10x+1000$。
（2）由题可知，当$50\leqslant x\leqslant70$时，
$P=(x-50)(-10x+1000)$
$=-10x^2+1000x+500x-50000$
$=-10x^2+1500x-50000$
（3）$P=-10x^2+1500x-50000$
$a=-10,b=1500,c=-50000$
因为$a=-10＜0$，
抛物线开口向下，二次函数有最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1500}{2×(-10)}=75$，
因为$75＞70$，在$50\leqslant x\leqslant70$内，$P$随$x$的增大而增大，
所以当$x=70$时，$P$最大，
$P=-10×70^2+1500×70-50000$
$=-49000+105000-50000$
$=6000$（元）
所以当售价为70元时，利润最大，最大利润为6000元。