《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 成比例的线段 四条线段a,b,c,d,如果$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,$那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段.

答案： $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

2. 比例的性质
(1)比例的基本性质(这是等积式与比例式互相转化的依据):如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$那么ad=bc.如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.$
(2)合比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$那么$$\frac{a+b}{b}$=$\frac{c+d}{d}$.$
(3)等比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=…=\frac{m}{n}(b+d+…+n≠0),$那么$$\frac{a+c+…+m}{b+d+…+n}$=$\frac{a}{b}$.$

答案： ad=bc; $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$; $\frac{a+b}{b}$; $\frac{c+d}{d}$; $\frac{a+c+…+m}{b+d+…+n}$; $\frac{a}{b}$

3. 平行线分线段成比例
(1)平行线分线段成比例定理:如图,如果l₁//l₂//l₃,那么$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF},\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF},\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}.$
(2)平行线分线段成比例定理的推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 如图、,在△ABC中,如果DE//BC,那么$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.$

预备定理:平行于三角形一边的直线截其他两边,所得三角形的三边与原三角形三边对应成比例. ∵OE//BC,∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.$
(3)平行的判定定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 如图,如果$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}($或$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}),$那么DE//BC.

答案：
(1) 已知 $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理：
$ \frac{BC}{AC} = \frac{EF}{DF}, \quad \frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}, \quad \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} $
(2) 在 $ \triangle ABC $ 中，若 $ DE // BC $，根据平行线分线段成比例定理的推论：
$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $
(3) 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，即：
$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \quad 或 \quad \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $
那么 $ DE // BC $。

例1 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{3}(b+d+f≠0),$则$\frac{a+c+e}{b+d+f}=$\frac{2}{3}$.$

答案： $\frac{2}{3}$

例2 如图,已知AB//EF//CD,若AB=2,CD=3,则$EF=$\frac{6}{5}$.$

答案： $\frac{6}{5}$