《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

答案： | | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 图象（草图） | 图中向右的箭头实为向右上和右下的双向箭头（抛物线在$y$轴右侧增减性不同），图略 | 图略 |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 顶点 | $(0,0)$ | $(0,0)$ |
| 对称轴 | $y$轴 | $y$轴 |
| 增减性 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 有最高或最低点 | 低 | 高 |
| 最值 | 当$x = 0$时，$y$有最小值，是$0$ | 当$x = 0$时，$y$有最大值，是$0$ |

1. 画出二次函数$y=x^{2}+2$的图象.
(1)列表.

观察表中所填数据,你发现了什么?
(2)在下面的平面直角坐标系中描出表中各点,并把这些点连成平滑的曲线.

答案： 1.
(1) 列表如下：
| $x$ | $\cdots$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | $\cdots$ | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | $\cdots$ |
| $y = x^{2}+2$ | $\cdots$ | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 | $\cdots$ |
观察表中所填数据发现：抛物线$y = x^{2}+2$上的点的纵坐标比抛物线$y = x^{2}$上对应点的纵坐标大2。
(2) 在平面直角坐标系中描出点$(-2,6)$，$(-1,3)$，$(0,2)$，$(1,3)$，$(2,6)$，并用平滑的曲线连接这些点，得到二次函数$y = x^{2}+2$的图象。

2. 观察图象.
(1)函数$y=x^{2}+2$与$y=x^{2}$的图象的开口大小相同，开口方向相同，对称轴相同，顶点坐标不同.
(2)函数$y=x^{2}+2$可以看成$y=x^{2}$的图象向上平移2个单位长度得到. 它的顶点坐标是$(0,2)$,当$x=$0时,$y$有最小值是2.
(3)猜想函数$y=x^{2}-2$的图象与性质.
$y=x^{2}-2$与$y=x^{2}$的图象的开口大小相同，开口方向相同，对称轴相同，顶点坐标不同. 函数$y=x^{2}-2$可以看成是$y=x^{2}$的图象向下平移2个单位长度得到,它的顶点坐标是$(0,-2)$,当$x=$0时,$y$有最小值是$-2$.
总结
(1)二次函数$y=ax^{2}+k$的图象是一条抛物线,它的对称轴是$y$轴,顶点坐标是$(0,k)$. 当$x=$0时,$y$有最值是$k$.
当$k＞0$时,$y=ax^{2}+k$的图象可以看成是$y=ax^{2}$的图象向上平移$k$个单位得到;当$k＜0$时,$y=ax^{2}+k$的图象可以看成是$y=ax^{2}$的图象向下平移$|k|$个单位得到.
(2)当$a＞0$时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点. 在对称轴的左侧,即$x$$＜0$时,$y$随$x$的增大而减小;在对称轴的右侧,即$x$$＞0$时,$y$随$x$的增大而增大.
当$a＜0$时,抛物线开口向下,顶点是抛物线的最高点. 在对称轴的左侧,即$x$$＜0$时,$y$随$x$的增大而增大;在对称轴的右侧,即$x$$＞0$时,$y$随$x$的增大而减小.
(3)$a$的正负决定开口的方向;$|a|$决定开口的大小,即$|a|$不变,则抛物线的形状不变. 因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状,所以平移前后的两条抛物线的$a$值不变.
(4)$y=ax^{2}+c(a≠0)$的图象交$y$轴于点$(0,c)$,所以$c$决定图象与$y$轴交点的位置.

答案： 开口大小; 开口方向; 对称轴; 顶点坐标; 上; 2; $(0,2)$; 0; 小; 2; 开口大小; 开口方向; 对称轴; 顶点坐标; 下; 2; $(0,-2)$; 0; 小; $-2$; 抛物线; $y$轴; $(0,k)$; 0; $k$; 上; $k$; 下; $|k|$; 上; 低; $＜0$; 减小; $＞0$; 增大; 下; 高; $＜0$; 增大; $＞0$; 减小; 方向; 大小; 不变; 不变; $y$轴