《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比、∠A的对边与斜边的比、∠A邻边与斜边的比也都随之确定.∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA= $\frac{BC}{AC}$；∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA= $\frac{BC}{AB}$；∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA= $\frac{AC}{AB}$.

答案： $\frac{BC}{AC}$; $\frac{BC}{AB}$; $\frac{AC}{AB}$

2. 锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的 三角函数.

答案： 三角函数

观察如图所示的Rt△AB₁C₁,Rt△AB₂C₂和Rt△AB₃C₃,得到：$\frac{B₁C₁}{AC₁}$= $\frac{B₂C₂}{AC₂}$= $\frac{B₃C₃}{AC₃}$，$\frac{B₁C₁}{AB₁}$= $\frac{B₂C₂}{AB₂}$= $\frac{B₃C₃}{AB₃}$.小结:在直角三角形中,如果一个锐角大小不变,那么三边之比为定值.

答案： $\frac{B₂C₂}{AC₂}$; $\frac{B₃C₃}{AC₃}$; $\frac{B₂C₂}{AB₂}$; $\frac{B₃C₃}{AB₃}$

例1 求出如图所示的Rt△ABC中∠A的三个三角函数值.解:sinA=$\frac{5}{13}$，cosA=$\frac{12}{13}$，tanA=$\frac{5}{12}$

答案： sinA=$\frac{5}{13}$，cosA=$\frac{12}{13}$，tanA=$\frac{5}{12}$

例2 如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、C都在格点上,则∠ABC的正弦值是 $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

答案： $\frac{\sqrt{5}}{5}$

例3 如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90°,sinB=$\frac{3}{5}$,点D在BC边上,且∠ADC=45°,DC=6.求BD的长.解:BD=2

答案： BD=2

例4 如图,P是正方形ABCD内一点,在正方形ABCD外有一点E,满足∠ABE=∠CBP,BE=BP.(1)求证:△CPB≌△AEB；(2)求证:PB⊥BE；(3)若PA:PB=1:2,∠APB=135°,求cos∠PAE的值.解:(1)(SAS)；(2)∵∠ABE=∠CBP，∴∠PBE=∠ABC=90°；(3)cos∠PAE=$\frac{1}{3}$

答案：
(1)(SAS)；
(2)
∵∠ABE=∠CBP，
∴∠PBE=∠ABC=90°；
(3)cos∠PAE=$\frac{1}{3}$