《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

5. 过多边形某个顶点的所有对角线,将这个多边形分成7个三角形,这个多边形是几边形?
解:6条对角线,9边形

答案： 解:6条对角线,9边形

6. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AB=12,BC=5,求四边形BDFG的周长.

答案： 26

7. 如图,在□ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于点G.求证:GF=GC.

答案： 取BE中点H，连接FH。
因为F是AE中点，H是BE中点，所以在△ABE中，FH是中位线。
根据中位线定理可得$FH// AB$，且$FH =\frac{1}{2}AB$。
在平行四边形ABCD中，$AB// CD$，$AB = CD$，E是CD中点，所以$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$。
则$FH// CE$，且$FH = CE$。
所以四边形CEFH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形性质，在平行四边形CEFH中，$GF = GC$。
综上，命题得证。

8. 证明:在□ABCD中,AC²+BD²=2(AB²+BC²).
解:△AEB≌△DFC(作AE⊥BC,DF⊥BC).
∴AC²+BD²=AE²+(EF+FC)²+AE²+(EF-FC)²
=2(AB²+BC²)

答案： 解:△AEB≌△DFC(作AE⊥BC,DF⊥BC).
∴AC²+BD²=AE²+(EF+FC)²+AE²+(EF-FC)²
=2(AB²+BC²)

如图,在正方形ABCD中,直线AG分别交BD,CD于点E,F,交BC的延长线于点G,点H是线段FG上的点,且HC⊥CE.求证:H是GF的中点.
解: 证△ADE≌△CDE(SAS)
再证CH=HG
再证FH=HC
∴HF=HG
阅读与思考
四边形的变身术
我们知道,一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形.

一个梯形可以剪开拼成一个矩形,一个矩形可以剪开拼成一个三角形.

那么任意一个四边形呢?它也可以剪开拼成各种各样的图形.下面给出了一些剪拼的示意图,观察一下,你也试试看.

答案： 解: 证△ADE≌△CDE(SAS)
再证CH=HG
再证FH=HC
∴HF=HG