《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 反比例函数图象是中心对称图形吗？如果是,请找出对称中心. 反比例函数图象是轴对称图形吗？如果是,请指出它的对称轴.

答:是中心对称.
是,当k＞0时关于$y=-x$对称
当k＜0时关于$y=x$对称

答案： 是中心对称图形，对称中心是原点；是轴对称图形，当$k＞0$时，对称轴是直线$y=-x$；当$k＜0$时，对称轴是直线$y=x$。

2. 在一个反比例函数图象上任取P,Q两点,过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为$S_1$;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为$S_2$. $S_1$与$S_2$有什么关系？为什么？

答:$S_1=S_2=|k|$

答案： 设反比例函数为$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$。
设点$P$的坐标为$(x_1, y_1)$，因为点$P$在反比例函数图象上，所以$y_1=\frac{k}{x_1}$，即$x_1y_1 = k$。过点$P$作$x$轴、$y$轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积$S_1 = |x_1| \cdot |y_1| = |x_1y_1| = |k|$。
设点$Q$的坐标为$(x_2, y_2)$，同理可得$x_2y_2 = k$，则$S_2 = |x_2| \cdot |y_2| = |x_2y_2| = |k|$。
结论：$S_1 = S_2$，且$S_1 = S_2 = |k|$。

如图,P为双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$上任意一点,则$S_{矩形PMON}=$k，$S_{△PON}=$$\frac{k}{2}$.

答案： k; $\frac{k}{2}$

例1 已知点$(x_1,-1)$,$(x_2,\frac{5}{2})$,$(x_3,-5)$在函数$y=-\frac{1}{x}$的图象上,则$x_1$,$x_2$,$x_3$的大小关系为$x_1＞x_3＞x_2$.

答案： $x_1＞x_3＞x_2$

变式 若点$A(-1,y_1)$,$B(1,y_2)$,$C(3,y_3)$在反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的图象上,则$y_1$,$y_2$,$y_3$的大小关系是 （B）

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$

答案： B

例2 已知一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于$A(-2,1)$,$B(1,n)$两点.
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标.
(2)在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,并观察图象回

答:当x为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值?

解:(1)$y=-\frac{2}{x}$,$B(1,-2)$
(2)$x＜-2$或$0＜x＜1$

答案： 解:
(1)$y=-\frac{2}{x}$,$B(1,-2)$
(2)$x＜-2$或$0＜x＜1$

例3 已知反比例函数$y=\frac{5}{x}$.
(1)当$x＞5$时,求y的范围；
(2)当$x≤5$时,求y的范围；
(3)当$y＞5$时,求x的范围.
解:(1)$0＜y＜1$
(2)$y≥1$或$y＜0$
(3)$0＜x＜1$

答案： 解:
(1)$0＜y＜1$
(2)$y≥1$或$y＜0$
(3)$0＜x＜1$