《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例4 采用如下方法可以得到黄金分割点:,设AB是已知线段,经过点B作BD⊥AB,使BD=$\frac{1}{2}AB$,连接DA,在DA上截取DE=DB;在AB上截取AC=AE.点C就是线段AB的黄金分割点.你能说说其中的道理吗?
解

答:设AB=2a,则BD=a,DE=a,在Rt△ABD中AD=$\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{5}a$,
∴AE=AD-DE=$\sqrt{5}a$-a=$(\sqrt{5}-1)a$,∴AC=AE=$(\sqrt{5}-1)a$,即AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$,
∴点C就是线段AB的黄金分割点.解

答:设AB=2a,则BD=a,DE=a,在Rt△ABD中AD=$\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{5}a$,
∴AE=AD-DE=$\sqrt{5}a$-a=$(\sqrt{5}-1)a$,∴AC=AE=$(\sqrt{5}-1)a$,即AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$,
∴点C就是线段AB的黄金分割点.

答案： 解
答:设AB=2a,则BD=a,DE=a,在Rt△ABD中AD=$\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{5}a$,
∴AE=AD-DE=$\sqrt{5}a$-a=$(\sqrt{5}-1)a$,
∴AC=AE=$(\sqrt{5}-1)a$,即AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$,
∴点C就是线段AB的黄金分割点.

1. 若线段AB=$\sqrt{5}$cm,C是AB的黄金分割点,且AC＞BC,则AC=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$cm.

答案： $\frac{5-\sqrt{5}}{2}$

2. 已知线段AB=10 cm,点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC),则AC的长为 （C）

A.$(5\sqrt{5}-10)$cm
B.$(15-5\sqrt{5})$cm
C.$(5\sqrt{5}-5)$cm
D.$(10-2\sqrt{5})$cm

答案： C

3. 如果两条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,那么称这两条线段之比为“黄金比”.已知线段a=1,b=$\sqrt{5}$,c=$2\sqrt{2}$,d=$\sqrt{10}-\sqrt{2}$,则其中为黄金比的两条线段是 （C）

A.a和b
B.b和c
C.c和d
D.d和a

答案： C

4. ,已知线段AB,点C在AB上,且有$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$,则$\frac{AC}{AB}$的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长,那么节目主持人应站在C位置最好.

答案： $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$; C

5. 有以下命题:
①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项,那么有$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$;
②如果点C是线段AB的中点,那么AC是AB,BC的比例中项;
③如果点C是线段AB的黄金分割点,且AC＞BC,那么AC是AB,BC的比例中项;
④如果点C是线段AB的黄金分割点,AC＞BC,且AB=2,则AC=$\sqrt{5}-1$.
其中正确的判断有 （C）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C

6. 已知线段AB,P是它的黄金分割点,且AP＞BP.设以AP为边的正方形的面积为$S_1$,以PB,AB为边的矩形的面积为$S_2$,则$S_1$与$S_2$的关系是 （C）

A.$S_1＞S_2$
B.$S_1＜S_2$
C.$S_1=S_2$
D.$S_1\geq S_2$

答案： C

7. ,以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取一点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.
(1)求AM,DM的长；
(2)求证:$AM^2=AD\cdot DM$；
(3)根据(2)中的结论,你能找出图中的黄金分割点吗?
解:(1)AM=$\sqrt{5}-1$,DM=$3-\sqrt{5}$
(2)$\frac{AM}{AD}=\frac{DM}{AM}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
(3)A为BF,M为AD.解:(1)AM=$\sqrt{5}-1$,DM=$3-\sqrt{5}$
(2)$\frac{AM}{AD}=\frac{DM}{AM}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
(3)A为BF,M为AD.

答案： 解:
(1)AM=$\sqrt{5}-1$,DM=$3-\sqrt{5}$
(2)$\frac{AM}{AD}=\frac{DM}{AM}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
(3)A为BF,M为AD.

,E为□ABCD的边AD延长线上一点,且D为AE的黄金分割点(AD＞DE),BE交DC于点F,AB=$\sqrt{5}+3$,则DF的长为多少?
解:∵△ABE∽△DFE
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{DE}{AE}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
又∵AB=$\sqrt{5}+3$
∴DF=$\frac{1}{2}(\sqrt{5}+3)(3-\sqrt{5})=2$解:∵△ABE∽△DFE
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{DE}{AE}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
又∵AB=$\sqrt{5}+3$
∴DF=$\frac{1}{2}(\sqrt{5}+3)(3-\sqrt{5})=2$

答案： 解:
∵△ABE∽△DFE
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{DE}{AE}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
又
∵AB=$\sqrt{5}+3$
∴DF=$\frac{1}{2}(\sqrt{5}+3)(3-\sqrt{5})=2$