《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

(2)在△ABC中，若cosA=$\frac{1}{2}$，tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则∠C=90°

答案： 90°

(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则tan$\frac{B}{2}$的值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(4)化简：$\sqrt{(\tan30^{\circ}-1)^{2}}$=$1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

2.计算：
(1)$\sin60^{\circ}-\tan45^{\circ}$；

答案： 答题卡：
(1)
解：
根据特殊角的三角函数值可知：
$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan45^{\circ}=1$
则$\sin60^{\circ}-\tan45^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$。

解:原式=$\frac{\sqrt{3}}{2}-1$

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}-1$

解:原式=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$

解:原式=$-\frac{1}{2}$

答案： $-\frac{1}{2}$

3.在△ABC中，若|2sinA - $\sqrt{3}$| + $(2\cos^{2}B - \frac{1}{2})^{2}=0$（∠A，∠B均为锐角），试判断△ABC的形状.

答案： 由题意得：
$|2\sin A - \sqrt{3}| = 0$，
$(2\cos^{2}B - \frac{1}{2})^{2} = 0$。
解第一个方程得：
$2\sin A - \sqrt{3} = 0$，
$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\angle A = 60^{\circ}$。
解第二个方程得：
$2\cos^{2}B - \frac{1}{2} = 0$，
$\cos^{2}B = \frac{1}{4}$，
$\cos B = \pm\frac{1}{2}$，
由于$\angle B$是锐角，
$\cos B = \frac{1}{2}$，
$\angle B = 60^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
$\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$。
由于$\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$，
所以$\bigtriangleup ABC$是等边三角形。

解:∵sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ∴∠A=60° 又∵cosB=$\frac{1}{2}$ ∴∠B=60° ∴为等边△.

答案：
∵sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴∠A=60° 又
∵cosB=$\frac{1}{2}$
∴∠B=60°
∴为等边△.

(1)当cosα＜$\frac{1}{2}$时，α的取值范围是60°＜α＜90°

答案： 60°＜α＜90°

(2)当sinα＞cosα时，α的取值范围是45°＜α＜90°

答案： 45°＜α＜90°

要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算.作Rt△ABC，使∠C=90°，∠B=30°，令斜边AB=2，那么直角边AC=1，BC=$\sqrt{3}$，所以tan30°=$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值.请你写出添加辅助线的方法，并求出tan15°的值.
解:tan15°=2 - $\sqrt{3}$

答案： tan15°=2 - $\sqrt{3}$