《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

5. 比较菱形的对角线和一般平行四边形的对角线,你会发现什么？你能利用菱形的对角线求菱形的面积吗？如果菱形的两条对角线分别长a,b,你能用a,b表示菱形的面积S吗？试试看.
解:S=$\frac{1}{2}$ab

答案： S=$\frac{1}{2}$ab

6. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？


答:4个,4个

答案： 4个,4个

例1 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠BAC=30°,BD=6.求菱形的边长和对角线AC的长.解:AC=6$\sqrt{3}$, AD=AC=AB=BC=6

答案： 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD。
∵BD=6，
∴OB=OD=3。
∵∠BAC=30°，AC⊥BD，
∴在Rt△AOB中，AB=2OB=6，OA=$\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$。
∴AC=2OA=6$\sqrt{3}$。
∴菱形的边长为6，对角线AC的长为6$\sqrt{3}$。

变式 如图,在菱形ABCD中,若菱形的面积为120,一条对角线长为10,则另一条对角线长为 24 ,菱形的边长为 13 ,高为 $\frac{120}{13}$ . 若∠BAO=50°,则∠BAD= 100° ,∠ABC= 80° .

答案： 24; 13; $\frac{120}{13}$; 100°; 80°

例2 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,AC=10,过点D作DE//AC交BC的延长线于点E.求△BDE的周长.解:C△BDE=10+24+26=60.

答案：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=13，AC⊥BD，AO=OC=AC/2=5，BO=OD=BD/2。
在Rt△AOB中，AB=13，AO=5，
由勾股定理得：BO²=AB² - AO²=13² - 5²=144，
∴BO=12，
∴BD=2BO=24。
∵DE//AC，AD//BC（菱形对边平行），即AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=10，CE=AD=13。
∵BE=BC + CE=13 + 13=26，
∴△BDE的周长=BD + DE + BE=24 + 10 + 26=60。
答：△BDE的周长为60。

例3 如图,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B.求证:△ABC是等边三角形.证明:在菱形ABCD中,∠B+∠BAD=180°, 又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC, ∴△ABC是等边三角形.

答案： 在菱形ABCD中，
$AB // CD$，$AD // BC$，
$\therefore \angle B + \angle BAD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because \angle BAD = 2\angle B$，
$\therefore \angle B + 2\angle B = 180°$，
$\therefore \angle B = 60°$。
$\because$四边形ABCD是菱形，
$\therefore AB = BC$。
在$\triangle ABC$中，
$AB = BC$，且$\angle B = 60°$，
$\therefore \triangle ABC$是等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形）。

1. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,已知AB=5 cm,AO=4 cm,则BD的长为 6 cm.

答案： 6

2. 若菱形的边长等于一条对角线的长,则它的一组邻角的度数分别为 60°,120° .

答案： 60°,120°

3. 已知菱形的两条对角线分别长6 cm和8 cm,求菱形的周长和面积.解:C=20cm, S=24cm².

答案： 答题卡：
解：
设菱形的两条对角线长分别为$d_1 = 6 cm$，$d_2 = 8 cm$。
根据菱形的性质，两条对角线互相垂直且平分。
设菱形的边长为$a$，则根据勾股定理，有：
$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{6}{2})^2 + (\frac{8}{2})^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 cm$，
菱形的周长 $C = 4a = 4 × 5 = 20 cm$。
菱形的面积 $S = \frac{1}{2} × d_1 × d_2 = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 cm^2$。
故答案为：$C = 20 cm$，$S = 24 cm^2$。

4. 如图,已知四边形ABCD和四边形AECF都是菱形,点E,F在BD上,∠BAD=100°,∠EAF=60°,求：(1)∠ABD的度数；(2)∠BAE的度数.解:(1)∠ABD=40°, (2)∠BAE=20°.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=100°，
∴AD//BC，∠ABC=180°-∠BAD=80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC/2=40°。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，∠BAC=∠BAD/2=50°，
∵四边形AECF是菱形，∠EAF=60°，
∴AC平分∠EAF，∠EAC=∠EAF/2=30°，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=50°-30°=20°。
(1)40°；
(2)20°。

5. 已知菱形ABCD的周长为20 cm,且相邻两内角之比是1:2,求菱形的对角线的长和面积以及菱形的高.解:对角线长分别为5$\sqrt{3}$cm,5cm, 面积为$\frac{25}{2}\sqrt{3}$cm², 高为$\frac{5}{2}\sqrt{3}$cm.

答案： 1. 边长：菱形周长为20cm，边长$ AB=BC=CD=DA=\frac{20}{4}=5\,cm $。
2. 内角：设相邻内角为$ x $和$ 2x $，由邻角互补得$ x+2x=180° $，解得$ x=60° $，$ 2x=120° $。
3. 对角线：设对角线$ AC $、$ BD $交于点$ O $，则$ AC\perp BD $，$ AO=\frac{1}{2}AC $，$ BO=\frac{1}{2}BD $。在$ Rt\triangle AOB $中，$ \angle OAB=\frac{1}{2}×60°=30° $，$ AB=5\,cm $。
$ BO=AB\cdot\sin30°=5×\frac{1}{2}=2.5\,cm $，故$ BD=2BO=5\,cm $；
$ AO=AB\cdot\cos30°=5×\frac{\sqrt{3}}{2} $，故$ AC=2AO=5\sqrt{3}\,cm $。
4. 面积：$ S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}×5\sqrt{3}×5=\frac{25\sqrt{3}}{2}\,cm^2 $。
5. 高：设高为$ h $，由$ S=底×高 $得$ 5h=\frac{25\sqrt{3}}{2} $，解得$ h=\frac{5\sqrt{3}}{2}\,cm $。
对角线长分别为$ 5\sqrt{3}\,cm $、$ 5\,cm $；面积为$ \frac{25\sqrt{3}}{2}\,cm^2 $；高为$ \frac{5\sqrt{3}}{2}\,cm $。