《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

如图1,在边长为44 cm的正方形硬纸板的四个顶点处分别剪掉一个小正方形,折成一个长方体形的无盖盒子(如图2).设剪掉的小正方形的边长为x cm,长方体形的无盖盒子的侧面积为S cm².
(1)求S与x之间的函数关系式,并直接写出x的取值范围.
(2)当x取何值时,S达到最大？并求出最大值.
解：(1)①由题意得,长方体形的无盖盒子的底面边长为(44 - 2x)cm,
∴盒子的侧面积S=4x(44 - 2x).
②由题意,$\begin{cases} 44 - 2x ＞ 0 \\ x ＞ 0 \end{cases}$,
∴0＜x＜22.
(2)由题意得,S=4x(44 - 2x),
即S=-8x² + 176x,
即S=-8(x - 11)² + 968,
∴当x=11时,S_{最大}=968.
即当剪掉的正方形的边长x为11 cm时,长方形盒子的侧面积S最大为968 cm².

答案： 解：
(1)①由题意得,长方体形的无盖盒子的底面边长为(44 - 2x)cm,
∴盒子的侧面积S=4x(44 - 2x).
②由题意,$\begin{cases} 44 - 2x ＞ 0 \\ x ＞ 0 \end{cases}$,
∴0＜x＜22.
(2)由题意得,S=4x(44 - 2x),
即S=-8x² + 176x,
即S=-8(x - 11)² + 968,
∴当x=11时,S_{最大}=968.
即当剪掉的正方形的边长x为11 cm时,长方形盒子的侧面积S最大为968 cm².

如图,等边△ABC的边长是1,点D,E,F分别在AB,BC,CA上,且△DEF是等边三角形.设AD=x,△DEF的面积为y,写出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围,并求出△DEF面积的最小值.

解：y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x² - $\frac{3\sqrt{3}}{4}$x + $\frac{\sqrt{3}}{4}$(0＜x＜1)
S_{min}=$\frac{\sqrt{3}}{16}$

答案： 解：y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x² - $\frac{3\sqrt{3}}{4}$x + $\frac{\sqrt{3}}{4}$(0＜x＜1)
S_{min}=$\frac{\sqrt{3}}{16}$

2.如图,BC=8 cm,AB=6 cm,∠B=45°,D,E,F三点分别在△ABC的三边上,四边形BDEF为平行四边形.当□BDEF的两邻边各长多少厘米时,它的面积最大？最大面积是多少？

解：BF=3
BD=4
S_{max}=6$\sqrt{2}$

答案： 解：BF=3
BD=4
S_{max}=6$\sqrt{2}$

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=5,点E在CB边上,且以每秒1个单位的速度从点C向点B运动,运动时间为t(s).过点E作AB的平行线,交AC边于点D,以DE为边向上作等边△DEF.设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S.
(1)当点F恰好落在AB边上时,求t的值.
(2)当t为何值时,S有最大值？最大值是多少？

答案：
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，
∴AB=10，AC=5√3。以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系，C(0,0)，B(5,0)，A(0,5√3)。点E(t,0)，DE//AB，D(0,√3 t)，DE=2t。等边△DEF中，F(2t,√3 t)。当F在AB上时，AB方程y=-√3 x+5√3，代入F坐标：√3 t=-√3·2t+5√3，解得t=5/3。
(2) 分两种情况：
① 0≤t≤5/3时，△DEF在△ABC内，S=√3 t²，t=5/3时，S=25√3/9。
② 5/3＜t≤5时，重叠部分S=√3 t² - √3/4(3t-5)²=-5√3/4 t² +15√3/2 t -25√3/4，对称轴t=3，此时S=5√3。
∵5√3＞25√3/9，
∴t=3时，S最大=5√3。
(1) t=5/3；
(2) t=3时，S最大值为5√3。

视野拓展
解：(1)t=$\frac{5}{3}$
当t=3时
S_{max}=5$\sqrt{3}$

答案： 解：
(1)t=$\frac{5}{3}$
当t=3时
S_{max}=5$\sqrt{3}$