《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

5.已知抛物线经过$A(-1,0)$和$B(3,0)$两点,与y轴交于点C,且$BC = 3\sqrt{2}$,求抛物线的解析式.
解:$y_1 = x^2 - 2x - 3$
$y_2 = -x^2 + 2x + 3$

答案： 解:$y_1 = x^2 - 2x - 3$
$y_2 = -x^2 + 2x + 3$

6.已知y是x的二次函数,且其图象经过点$(0,3)$,$(-3,0)$,$(2,-5)$,交x轴于A,B两点.
(1)试确定此二次函数的表达式.
解:(1)$y = -x^2 - 2x + 3$

答案： 解:
(1)$y = -x^2 - 2x + 3$

(2)判断点$P(-2,3)$是否在这个二次函数的图象上,若在,求$\triangle PAB$的面积；若不在,请说明理由.

(2)$S_{\triangle PAB} = 6$

答案：
(2)$S_{\triangle PAB} = 6$

已知直线$y = x - 3$与x轴、y轴交于A,B两点,抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过点A,B及点$E(-2,5)$.
(1)求此抛物线的解析式及顶点M的坐标；
解:(1)$y = (x - 1)^2 - 4$
∴ $M(1, -4)$
(2)设此抛物线与x轴另一交点为C,求四边形AMBC的面积.
(2)$C(-1,0)$
$S_{AMBC} = S_{梯MDCB} + S_{\triangle AMB}$
$= 9$

答案： 解:
(1)$y = (x - 1)^2 - 4$
∴ $M(1, -4)$;
(2)$C(-1,0)$
$S_{AMBC} = S_{梯MDCB} + S_{\triangle AMB}$
$= 9$

1.a,b,c符号的判定
对于抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
(1)a的符号决定了抛物线的 开口方向.
当a＞0时,抛物线的开口 向上；当a＜0时,抛物线的开口 向下.
(2)c的符号决定了抛物线与 y轴交点的位置,交点坐标是(0,c).
当c＞0时,抛物线与y轴交于 y轴正半轴；当c＜0时,抛物线与y轴交于 负半轴；当c=0时,抛物线与y轴交于 原点.
(3)抛物线对称轴的方程是x=$-\frac{b}{2a}$.
当a,b同号时,抛物线的对称轴在y轴的 左侧；当a,b异号时,抛物线的对称轴在y轴的 右侧；当b=0时,抛物线的对称轴是 y轴.

答案： 开口方向; 向上; 向下; y轴; 0; c; y轴正半轴; 负半轴; 原点; $-\frac{b}{2a}$; 左; 右; y轴

2.含a,b,c的代数式符号的判定
对于抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
(1)顶点坐标是($-\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac-b^2}{4a}$),对称轴方程是 $x=-\frac{b}{2a}$.
(2)$b^2-4ac$的符号由抛物线与x轴的 交点个数确定.
与x轴有两个交点 $b^2-4ac＞0$；
与x轴有一个交点 $b^2-4ac=0$；
与x轴无交点 $b^2-4ac＜0$.
(3)当x=1时,y的值为 $a+b+c$；当x=-1时,y的值为 $a-b+c$……则抛物线经过点(1,$a+b+c$),(-1,$a-b+c$),…

答案： $-\frac{b}{2a}$; $\frac{4ac-b^2}{4a}$; $x=-\frac{b}{2a}$; 交点; $b^2-4ac＞0$; $b^2-4ac=0$; $b^2-4ac＜0$; $a+b+c$; $a-b+c$; $a+b+c$; $a-b+c$

抛物线$y=ax^2+bx+c$如图所示,试确定a,b,c,△的符号：

答案： $a＞0$；$b＜0$；$c＞0$；$\Delta＞0$