《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例1 如图,弦 DC,EF 的延长线交于⊙O外一点 P,直线 PAB 经过圆心 O. 请你根据现有图形,添加一个适当的条件,使∠1 = ∠2：EF = CD.

答案： EF = CD

例2 如图,在⊙O 中,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,D,E 分别是半径 OA,OB 的中点. 求证:CD = CE.
解:连接 OC. ∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$ ∴∠1=∠2 OD=OE OC=OC △OCD≌△OCE(SAS) ∴ CD=CE

答案： 解:连接 OC.
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∴∠1=∠2 OD=OE OC=OC △OCD≌△OCE(SAS)
∴ CD=CE

变式 已知 A,B 是⊙O 上的两点，∠AOB = 120°，C 是劣弧 AB 的中点，试确定四边形 OACB 的形状，并说明理由.
解:菱形 OACB. ∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$ ∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60° OA=OC ∴正△AOC ∴OA=AC 同理 OB=BC ∴菱形 OACB

答案： 解:菱形 OACB.
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60° OA=OC
∴正△AOC
∴OA=AC 同理 OB=BC
∴菱形 OACB

例3 如图,以□ABCD 的顶点 A 为圆心、AB 为半径作圆,交 AD,BC 于 E,F 两点，延长 BA 交⊙O 于点 G. 求证:$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
解:∵□ABCD ∴∠2=∠3=∠B 又∵∠1=∠B ∴∠1=∠2 ∴$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$

答案： 解:
∵□ABCD
∴∠2=∠3=∠B 又
∵∠1=∠B
∴∠1=∠2
∴$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$

例4 如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦,且 AB = CD. 求证:AD = BC.
证明:∵ AB = CD， ∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$， ∴$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BD}$， ∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$， ∴AD = BC.
反馈用
A组

答案： 证明:
∵ AB = CD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BD}$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AD = BC.

1. 在同圆或等圆中,下列说法错误的是（A）

A.相等的弦所对的弧相等
B.相等的弦所对的圆心角相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.相等的圆心角所对的弦相等

答案： A

2. 如图,在⊙O 中,若 C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点，∠A = 50°,则∠BOC =（A）

A.40°
B.45°
C.50°
D.60°

答案： A

3. 如图,AB 是⊙O 的直径,$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$,∠COD = 34°,则∠AEO 的度数是（A）

A.51°
B.56°
C.68°
D.78°

答案： A

4. 如图,在⊙O 中,已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,且$\overset{\frown}{AB}$:$\overset{\frown}{AmC}$=3:4,则∠AOC = 144.

答案： 144

5. 如图,AB,CD 是⊙O 的直径,OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD =∠BOF，$\overset{\frown}{AC}$＜$\overset{\frown}{AE}$，AC＜AE.（均填“＞”“＜”或“=”）

答案： =; ＜; ＜