《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例3 圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”),当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图,表AC垂直圭BC,已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为35°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为80°,表AC的长为3.5米.求圭面上冬至线与夏至线之间的距离BD的长.(结果精确到0.1米;参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.81,tan35°≈0.70,sin80°≈0.98,cos80°≈0.17,tan80°≈5.60)解:由题意得:AC⊥BC, 在Rt△ACD中,∠ADC=80°,AC=3.5米,tan∠ADC=AC/CD,∴CD≈3.5/5.60=0.626(米), 在Rt△ABC中,∠ABC=35°,tan∠ABC=AC/BC, ∴BC=3.5/0.70=5(米), ∴BD=BC - CD=5 - 0.625≈4.4(米), ∴圭面上冬至线与夏至线之间BD的长约为4.4米.

答案： 解:由题意得:AC⊥BC, 在Rt△ACD中,∠ADC=80°,AC=3.5米,tan∠ADC=AC/CD,
∴CD≈3.5/5.60=0.626(米), 在Rt△ABC中,∠ABC=35°,tan∠ABC=AC/BC,
∴BC=3.5/0.70=5(米),
∴BD=BC - CD=5 - 0.625≈4.4(米),
∴圭面上冬至线与夏至线之间BD的长约为4.4米.

1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=18,则AC= 9√3,BC= 9.

答案： 9√3; 9

2. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC:BC=1:√3,AB=6,则∠B= 30°,AC= 3,BC= 3√3.

答案： 30°; 3; 3√3

3. 某山路的路面坡度i=1:√399,沿此山路前进200m,升高了 10m.

答案： 10

4. 如图,C岛在A岛的北偏东60°方向,在B岛的北偏西45°方向,则从C岛看A,B两岛的视角∠ACB= 105°.

答案： 105°

5. 为建设美好公园社区,增强民众生活幸福感,某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷,便于社区居民休憩.如图,在其侧面示意图中,遮阳篷长为5米,与水平面的夹角为16°,且靠墙端离地高为4米.当太阳光线与地面的夹角为60°时,求阴影的长.(结果精确到0.1米;参考数据:√3≈1.7,sin16°≈0.28,cos16°≈0.96,tan16°≈0.29)解:如图,过点A作AF⊥CD,交CD的延长线于F, 则四边形AECF为矩形, ∴AE=CF,CE=AF, 在Rt△AEB中,AB=5米,∠BAE=16°, 则BE=AB·sin∠BAE≈5×0.28=1.4(米),AE=AB·cos∠BAE≈5×0.96=4.8(米), ∴CE=BC - BE=4 - 1.4=2.6(米), ∴AF=CE=2.6米,CF=AE=4.8米, 在Rt△AFD中,AF=2.6米,∠ADF=60°, 则DF=AF/tan∠ADF≈2.6/1.7≈1.53(米), ∴CD=CF - DF=4.8 - 1.53≈3.3(米),

答:阴影的长约为3.3米.

答案： 解:如图,过点A作AF⊥CD,交CD的延长线于F, 则四边形AECF为矩形,
∴AE=CF,CE=AF, 在Rt△AEB中,AB=5米,∠BAE=16°, 则BE=AB·sin∠BAE≈5×0.28=1.4(米),AE=AB·cos∠BAE≈5×0.96=4.8(米),
∴CE=BC - BE=4 - 1.4=2.6(米),
∴AF=CE=2.6米,CF=AE=4.8米, 在Rt△AFD中,AF=2.6米,∠ADF=60°, 则DF=AF/tan∠ADF≈2.6/1.7≈1.53(米),
∴CD=CF - DF=4.8 - 1.53≈3.3(米),
答:阴影的长约为3.3米.