《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例4 如图,P是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$图象上的任意一点,过点P作x轴的垂线,垂足为M,已知$△POM$的面积是2.
(1)求k的值；
(2)若直线$y=x$与反比例函数的图象在第一象限内交于点A,求过点A和点$B(0,-2)$的直线解析式.

解:(1)$k=4$
(2)$y=2x-2$

答案： 解:
(1)$k=4$
(2)$y=2x-2$

例5 如图,点A在双曲线$y=\frac{1}{x}$上,点B在双曲线$y=\frac{3}{x}$上,且$AB//x$轴,点C,D在x轴上.若四边形ABCD为矩形,求它的面积.

解:延长BA交y轴于E,
∵$AB//x$轴,
∴AE垂直于y轴,
∵点A在双曲线$y=\frac{1}{x}$上,
∴四边形AEOD的面积为1,

∵点B在双曲线$y=\frac{3}{x}$上,
且$AB//x$轴,
∴四边形BEOC的面积为3,
∴矩形ABCD的面积为$3-1=2$.
故答案为:2.

答案：
解:延长BA交y轴于E,
∵$AB//x$轴,
∴AE垂直于y轴,
∵点A在双曲线$y=\frac{1}{x}$上,
∴四边形AEOD的面积为1,

∵点B在双曲线$y=\frac{3}{x}$上,
且$AB//x$轴,
∴四边形BEOC的面积为3,
∴矩形ABCD的面积为$3-1=2$.
故答案为:2.

1. 若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=3x+b$的图象都经过点$(1,4)$,则$kb=$4.

答案： 4

2. 反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的图象一定经过点$(-2,$3$)$.

答案： 3

3. 若点$A(7,y_1)$,$B(5,y_2)$在双曲线$y=-\frac{3}{x}$上,则$y_1$,$y_2$中较小的是$y_1＞y_2$.

答案： $y_1＞y_2$

4. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象如图所示,若$△POQ$的面积是3,则k的值为-6.

答案： -6

5. 双曲线$C_1:y=\frac{4}{x}(x＞0)$和$C_2:y=\frac{2}{x}(x＞0)$如图所示,设点P在$C_1$上,$PC⊥x$轴于点C,交于$C_2$于点A,$PD⊥y$轴于点D,交$C_2$于点B,则四边形PAOB的面积为2.

答案： 2

6. 如图,点A,B是双曲线$y=\frac{3}{x}$上的点，分别过A,B两点向x轴、y轴作垂线段.若$S_{阴影}=1$,则$S_1+S_2=$4.

答案： 4

视野拓展 已知点$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$都在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上,且$x_1＞x_2$,请比较$y_1$与$y_2$的大小.
解:当$x_1＞x_2＞0$或$0＞x_1＞x_2$时,$y_1＜y_2$
当$x_1＞0＞x_2$时,$y_1＞y_2$

答案： 解:当$x_1＞x_2＞0$或$0＞x_1＞x_2$时,$y_1＜y_2$
当$x_1＞0＞x_2$时,$y_1＞y_2$